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相关试卷

1、石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去四面体 $A_{1} E I J$ ， $B_{1} F J K$ ， $C_{1} G K L$ ， $D_{1} H L I$ 得到的，其中 $E, F, G, H, I, J, K, L$ 均为各棱的中点，且 $A B = 60$ 厘米．

(1)、求该石凳的体积；

(2)、求该石凳的表面积（不包含底面 $A B C D$ ）．

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2、已知复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = 2 + a i$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ；

(2)、若复数 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．

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3、若 $(1 + i) (a + 2 i) (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

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4、六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知 $A B = 4$ ， $M N = 6$ ， P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（）

A、若点P与点A重合，则 $|P M|$ 的最大值是7 B、若P是线段AB的中点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{A B} = \vec{P N} \cdot \vec{A B}$ C、若P是线段AB的中点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 3$ D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值是7

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5、下列命题是真命题的是（）

A、棱台的侧面一定是梯形 B、直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C、棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D、过空间内不同的三点有且仅有一个平面

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6、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7} + 2$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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7、已知函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，且 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、8 D、9

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8、已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足 $2 < |z| < 3$ 的点的集合组成的图形的面积是（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $9 π$

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9、“ $a > b > c$ ”是“ $a + b > c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 5$ B、0 C、4 D、5

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11、已知集合 $A = \{x |3 - x < 1\}$ ， $B = \{x |\ln x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, e)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, e)$

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12、已知复数 $z = - 1 + i$ ，则 $z (\bar{z} + 1) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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13、已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $x \in [2, 3]$ 时，如果曲线 $y = f (x)$ 恒在 $x$ 轴上方，求 $a$ 的取值范围.

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14、设 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，求：

(1)、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{5}$ ；

(2)、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{5}|$ ；

(3)、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2}$ ．

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15、若 ${(x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的二项展开式中第 $3$ 项和第 $5$ 项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为

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16、若函数 $f (x) = 2 \ln x - x^{2} + m$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{e^{2}} + 1$ D、 $\frac{1}{e^{2}} + 2$

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17、对于 ${(x^{2} - \frac{3}{x})}^{6}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、所有项的二项式系数和为64 B、所有项的系数和为64 C、常数项为1215 D、二项式系数最大的项为第3项

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18、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为斜边 $A C = 2 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，顶点S在底面 $A B C$ 上的射影为 $A C$ 的中点．若 $S A = 2$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的一个动点，则 $S E + C E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 (\sqrt{3} + 1)$ D、 $2 (\sqrt{3} - 1)$

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19、已知首项为1的正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\sqrt{a_{n + 1}} - \sqrt{a_{n}} = \frac{1}{4} a_{2}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} + \sqrt{a_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、已知随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P (X = 0) = 2 - 5 P (X = 1) = a$ ，则 $E (a X + 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{35}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{15}{16}$

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