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相关试卷

1、某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有 $A, B$ 两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ， B组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ， $A, B$ 两组题至少答对3题才可获得一张奖券.

(1)、设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 1} + a (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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3、有3台车床加工同一型号的零件，第 $1 ， 2 ， 3$ 台车床加工的次品率分别为 $2 % ， 1 % ， 3 % ，$ 加工出来的零件混放在一起.已知第 $1 ， 2 ， 3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $20 % ， 70 % ， 10 % .$

(1)、任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)、如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 \times 3^{n}$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - 3^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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5、如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，移动2个单位的概率均为 $1 - p$ .
记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ ，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为 $f (p)$ ，则 $f (p)$ 的最大值是.

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6、已知曲线 $y = x \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 2) x$ 只有一个公共点，则实数a的一个值是.

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7、若二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) > x f^{'} (x)$ ，则对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，下列不等式中一定成立的有（）

A、 $f (x_{1} x_{2}) < f (x_{1}) f (x_{2})$ B、 $f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2})$ C、 $f (e^{x_{1} + x_{2}}) < e^{x_{1} + x_{2}} f (1)$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{x_{2}}{x_{1}} f (x_{1}) + \frac{x_{1}}{x_{2}} f (x_{2})$

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9、用模型 $y = k e^{λ x} (k > 0)$ 去拟合一组数据，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性回归方程 $z = 2 x + 3$ ，则（）

A、 $λ = 2$ B、 $λ = 3$ C、 $k = e^{2}$ D、 $k = e^{3}$

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10、已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.4
0.2
a
则（）

A、 $E (X) = 1$ B、 $E (2 X - 1) = 1$ C、 $D (X) = 0.8$ D、 $D (2 X - 1) = 0.6$

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11、已知连续型随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，记函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = 2$ 对称 B、关于点 $(2, \frac{1}{2})$ 对称 C、关于直线 $x = 1$ 对称 D、关于点 $(2, 1)$ 对称

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12、随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
1
2
4
6
7
销售额y
20
30
40
44
46
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据：样本相关系数 $r \approx 0.956$ ），则下列判断正确的是（）

A、y与x呈负相关关系 B、经验回归直线经过点 $(4, 40)$ C、经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + 19$ D、y与x的线性相关程度较强

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13、在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（）

A、56 B、64 C、72 D、120

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14、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.881$ .已知 $P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ ，依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，结论为（）

A、变量X与Y独立 B、变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C、变量X与Y不独立 D、变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005

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15、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增 B、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、 $f^{'} (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

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16、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 10$ ，公差 $d = - 2$ ，则（）

A、 $a_{5} = 0$ B、 $a_{n} < 0$ C、 $S_{5} = S_{6}$ D、 $S_{5} < S_{6}$

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18、用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）

A、120 B、60 C、100 D、80

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19、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ， $g (x) = ln x + (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 存在2个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $h (x) = |f (x)| + |g (x)|$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；
②若 $h (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的取值范围．

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20、某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况
第t天
1
2
3
4
5
6
7
预约量y（万张）
9.03
9
8.58
8.7
8.76
8.74
8.79
经计算得： $\sum_{i = 1}^{7} t_{i}^{2} = 140$ ， $\bar{y} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 8.8$ ， $\sum_{i = 1}^{i = 7} t_{i} y_{i} = 245.34$ ．

(1)、由于前两天预约游览免费，所以剔除第1、2两天数据，求y关于t的线性回归方程及第5天的残差：

(2)、为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表：

50岁以下
50岁（含50）以上
合计
通过APP预约人数
70

其它方式购票人数

80
合计

100

①完成以上2×2列联表：
②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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第t天	1	2	3	4	5	6	7
预约量y（万张）	9.03	9	8.58	8.7	8.76	8.74	8.79

	50岁以下	50岁（含50）以上	合计
通过APP预约人数	70
其它方式购票人数			80
合计		100

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

X	0	1	2
P	0.4	0.2	a

超市	A	B	C	D	E
广告支出x	1	2	4	6	7
销售额y	20	30	40	44	46