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相关试卷

1、某船在海面上航行至 $A$ 处，测得山顶 $P$ 位于其正西方向，且仰角为 $45^{\circ}$ ，该船继续沿南偏东 $30^{\circ}$ 的方向航行 $600$ 米至 $B$ 处，测得山顶 $P$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，则该山顶高于海面（）

A、 $300$ 米 B、 $400$ 米 C、 $500$ 米 D、 $600$ 米

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2、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）．

A、12 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面．下列命题中正确的是（）．

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α // β$ D、若 $m // α$ ， $n // β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，点E是 $C D$ 的中点．设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）．

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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5、已知 $\frac{\sin α}{\cos α - \sin α} = 2$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）．

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、5

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ，则 $B =$ （）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$

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7、棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）．

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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8、若 $\frac{1}{z} = 2 - i$ （i为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、如图所示，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A D C$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = A B = B D = 2$ ，求三棱锥 $E - P C D$ 的体积．

(3)、若 $P A = A B$ ，当二面角 $P - A C - B$ 的正切值为 $- 2$ 时，求直线 $P E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角．

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10、某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位 $mg$ ）的样本数据统计如下：

(1)、求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）

(2)、公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 $(\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ 范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中 $\bar{x}$ ， $s$ 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 10$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为 $78 mg$ ，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．

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11、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 α)$ 的值.

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(3 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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13、给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、众数为2和3 C、方差为 $\frac{8}{5}$ D、第85百分位数为4.5

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14、在四边形ABCD中， $A (0, 0)$ ， $B (1, 2)$ ， $\vec{A B} = \vec{D C}$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} + \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{\sqrt{2} \vec{B D}}{|\vec{B D}|}$ ，则四边形ABCD的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，点 $M, N$ 是函数图象与 $x$ 轴的交点，点 $P$ 是函数图象的最高点，且 $△ P M N$ 是边长为2的正三角形， $O N = 3 O M$ ，则 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = \sqrt{3} sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \sqrt{3} sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sqrt{3} sin (π x + \frac{π}{4})$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为a，b，c，如果 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰或直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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17、甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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18、当 $1 < m < 2$ 时，复数 $m (2 + i) - (4 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}$ ， $g (x) = x^{2} + x ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $g (x) > - \frac{5}{16}$ ；

(3)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B$ ， $E B / / P A$ ， $A B = P A = 4$ ， $E B = 2$ ．

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - E$ 的大小．

(3)、点 $Q$ 在直线BD上，直线 $P Q$ 与直线CE的夹角为 $α$ ，二面角 $D - P C - E$ 为 $β$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $α + β = π$ ．如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由．

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