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相关试卷

1、为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a^{2} = 2 b c \sin A$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{4}$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{b c}{a}$ C、 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 取得最小值时， $A = \frac{π}{3}$ D、 $A = \frac{π}{4}$ 时， $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 值为 $2 \sqrt{2}$

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3、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，若将 $△ B C D$ 沿着直线 $B D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ ，使得四面体 $C^{'} - A B D$ 的外接球半径为 $1$ ，则直线 $B C^{'}$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4、秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对应的边，其公式为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(a c)}^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ 若 $c^{2} = \frac{2 \sin C}{\sin A}$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $a > b > c$ ，则利用“三斜求积术”求 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$

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6、某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和至多有1名男生

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $P C$ 的中点， $A P = 4$ .
（1）求四棱锥 $F - A B C E$ 的体积；
（2）求 $B F$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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8、共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组： $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ （满意度评分值均在 $[50, 100]$ 内），制成如图所示的频率分直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、用分层抽样的方法在满意度评分值在 $[80, 90), [90, 100]$ 内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在 $[80, 90)$ 内的概率.

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9、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = \frac{13}{2}, a = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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10、已知复数 $z = m^{2} + 6 m - 7 + (m^{2} - m) i$ ．

(1)、若复数 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、当非零复数 $z$ 的实部和虚部互为相反数时，求实数 $m$ 的值．

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11、 $\frac{\tan 84 ° - \tan 24 ° + \tan 300 °}{\tan 84 ° \tan 24 °} =$ .

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12、已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为.

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13、已知 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{2}), \vec{b} = (\sqrt{2}, 1)$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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14、已知两组数据，第一组： $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ：第二组 $2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027$ ，则下列说法正确的是（）

A、两组数据的平均数相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的极差相同 D、两组数据的方差相同

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15、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, α \cap β = n, m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α / / β, β / / γ, m \subset α, n \subset γ$ ，则 $m // n$

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16、某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（）

A、24人 B、36人 C、48人 D、60人

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17、某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 $15 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、某人抽奖100次，一定能中奖15次 B、某人抽奖200次，至少能中奖3次 C、某人抽奖1次，一定不能中奖 D、某人抽奖20次，可能1次也没中奖

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18、已知 $i$ 为虚数单位，若 $i (1 - \bar{z}) = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、i D、 $- i$

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19、下列选项中，与角 $α = - 40 °$ 终边相同的角是（）

A、 $- 400 °$ B、 $- 380 °$ C、310° D、330°

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20、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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