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相关试卷

1、如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $A B = 2$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $F A = F C = \sqrt{6}$ ，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $B D / / l$ ；

(2)、证明：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角为 $α$ ，若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\{\begin{matrix} m \cos^{2} θ = \sin θ - t \cos θ \\ n \sin^{2} θ = \cos θ + t \sin θ \end{matrix}$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，证明： $m + n > \frac{3 \sqrt{3}}{2} \tan α$ ．

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2、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3 x}{2}, \sin \frac{3 x}{2}), \vec{b} = (\cos \frac{x}{2}, - \sin \frac{x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - m |\vec{a} + \vec{b}| + 1$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}], m \in R$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为﹣1，求实数m的值；

(3)、是否存在实数m，使函数 $g (x) = f (x) + \frac{24}{49} m^{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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3、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + \sqrt{3} c \sin B$
（1）求 $B$ ；
（2）若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且边 $c = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围.

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4、如图所示，水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是图中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} C^{'} = 4 ， B^{'} C^{'} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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5、如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长 $10 %$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2015 - 2022$ 年营业额逐年增加 B、2022年的净利润超过 $2017 - 2021$ 年净利润的总和 C、 $2015 - 2022$ 年营业额的增长率最大的是2022年 D、2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则（）

A、若 $A = 30^{\circ}, b = 4, a = 3$ ，则 $△ A B C$ 恰有1解 B、若 $\tan A \tan B = 1$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，则 $A = 2 B$

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7、如图，在直角坐标系内，角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ， $O P_{1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{2}$ ， $O P_{2}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{3}$ ， …， $O P_{n - 1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{n}$ ，则点 $P_{2022}$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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8、已知一组正数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $s^{2} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - 9$ ，则另一组数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1$ ， $2 x_{3} - 1, 2 x_{4} - 1, 2 x_{5} - 1$ 的平均数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\overset{⃑}{α} = (a ， cos B)$ ， $\overset{⃑}{β} ＝ (cos A ， - b)$ ，若 $\overset{⃑}{α} ⊥ \overset{⃑}{β}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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10、已知 $\sin (θ + \frac{π}{12}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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11、对于任意的平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 且 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $| \vec{b} | = | \vec{c} |$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $\frac{(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{c}}{| \vec{c} |^{2}}$

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12、在复平面内，复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ （其中i为虚数单位）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”； $B$ 表示事件“志愿者乙派往铅球区域”； $C$ 表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）

A、事件A与 $B$ 相互独立 B、事件A与 $C$ 为互斥事件 C、 $P (C| A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (B| A) = \frac{1}{6}$

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14、若 $\sin α + \cos α = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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15、为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（）

A、1500名运动员的年龄是总体 B、抽取到的150名运动员是样本 C、这个抽样方法可以采取随机数表法抽样 D、每个运动员被抽到的机会相等

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1) ， \vec{b} = (k, 2) .$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 4$ D、4

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17、小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是（）

A、 $m = 7.0$ B、这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人 C、这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人 D、这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人

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18、若 ${(x + 3 i)}^{2}$ 是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数 $x =$ （）

A、±3 B、±1 C、-1 D、3

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且 $E F ⊥ B P$ ，四边形ABCD为正方形， $P D = C D = 2$ .

(1)、证明： $B P ⊥ D F$ ；

(2)、求三棱锥 $F - B D E$ 的体积；

(3)、求二面角 $F - D E - B$ 的余弦值.

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20、为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组 $[30, 50)$ ，第二组 $[50, 70)$ ， …，第六组 $[130, 150]$ .整理数据得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；

(2)、若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在 $[50, 70)$ 和 $[110, 130)$ 内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在 $[110, 130)$ 内的概率.

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