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相关试卷

1、已知集合 $M = \{x \in Z ∣ 2^{x} < 8\}, N = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2、将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 边上的三等分点， $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B A E = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $A E = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $A C$ 长的最大值；

(3)、若 $∠ B A E = ∠ C A D$ ，求 $\cos ∠ D A E$ 的值．

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，现有下面两种对 $f (x)$ 变换的操作：
$φ$ 变换： $f (x) \to f (x) - f (x - t)$ ；
$ω$ 变换： $f (x) \to | f (x + t) - f (x) |$ ，其中 $t > 0$ ．

(1)、若 $f (x) = 3^{x}$ ， $t = 1$ ，对 $f (x)$ 进行 $φ$ 变换后得到函数 $g (x)$ ，解方程 $g (x) = 2$ ；

(2)、若 $f (x) = \sin (2 x)$ ， $t = \frac{π}{4}$ ，对 $f (x)$ 进行 $ω$ 变换后得到函数 $h (x)$ ，解不等式 $h (x) < 1$ ；

(3)、定义：先对 $f (x)$ 进行 $φ$ 变换得到函数 $g (x) = f (x) - f (x - t)$ ；再对 $g (x)$ 进行 $ω$ 变换得到函数 $h (x) = | g (x + t) - g (x) |$ ．设 $F (x) = h (x - a) + b$ ， $(a, b \in R)$ ．证明：无论 $f (x)$ 是奇函数还是偶函数，函数 $F (x)$ 的图象总关于直线 $x = a$ 对称．

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7、某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3π}{2}$
$2π$
$x$
$a$
$\frac{π}{3}$
$b$
$\frac{5π}{6}$
$c$
$A \sin (ω x + φ)$
0
2
0
$- 2$
0

(1)、请将上表数据补充完整，并直接写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值和函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + m$ ，若函数 $g (x)$ 图像在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到 $y = h (x)$ 的图象．若 $y = h (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{11 π}{12}, 0)$ ，求 $θ$ 的最小值．

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，

(1)、求四棱锥 $A - B B_{1} D_{1} D$ 的体积；

(2)、若点 $P$ ， $Q$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，求过点 $A_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截正方体所得的截面的周长．

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9、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量，已知向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

(1)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = - 3$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角．

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10、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} = \frac{1}{4} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $\cos ∠ B A C$ 等于．

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11、如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一铅垂平面内，飞机在 $A$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $75 °$ ， $30 °$ ，飞行3千米后，在 $B$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $45 °$ ， $60 °$ ，则测得两山顶 $M$ ， $N$ 间距离为千米．

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12、已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为．

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13、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 中点， $\vec{C B} = 2 \vec{B E}$ ，且 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ，则（）

A、 $F$ 为 $D E$ 的中点 B、 $\vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ C、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ ，且 $| \vec{A B} | = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D E} = 2$ D、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{D E}$ ，则 $∠ A C B$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ ．

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14、如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（）

A、该水杯侧面积为 $12π$ B、该水杯里牛奶的体积为 $\frac{19}{6} π$ C、放入的椰果半径为 $\frac{1}{2}$ D、该水杯外接球的表面积为 $\frac{425}{16} π$

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15、若复数 $z = - 1 + 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部是 $2 i$ B、 $\bar{z} = - 1 - 2 i$ C、 $| z | = \sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{z}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，当 $x = \frac{π}{6}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值，则（）

A、 $f (1) > f (3) > f (5)$ B、 $f (3) > f (1) > f (5)$ C、 $f (5) > f (3) > f (1)$ D、 $f (3) > f (5) > f (1)$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = b = c = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2$ B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则 $b = \sqrt{3} + 1$ C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，满足 $△ A B C$ 有解，则 $0 < A \leq \frac{π}{4}$

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + (5 a - 4) x - 1, x < 0 \\ \log_{a} (x + 2) + 1, x \geq 0 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）满足：对于任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{4}{5}]$ D、 $[\frac{4}{5}, 1)$

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19、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{6}$ ，则 $\tan α \cdot \tan β =$ （）

A、3 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ，则“ $\sin B < \frac{1}{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3π}{2}$	$2π$
$x$	$a$	$\frac{π}{3}$	$b$	$\frac{5π}{6}$	$c$
$A \sin (ω x + φ)$	0	2	0	$- 2$	0