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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B = \frac{c + b}{2 a}$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (- 3, - 2)$ ， $\vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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3、已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为．

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4、已知复数 $z = - i (1 + i)$ ，则 $|z| =$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点， $B C = 4$ ， $A D = \sqrt{11}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A C = \sqrt{7}$ ，则 $A B = \sqrt{11}$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{11}$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{C A} = 7$ D、若 $B = 2 C$ ，则 $A B = 3$

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6、Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是（）

A、2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多 B、2023年Z国没有从A国进口液化天然气 C、2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多 D、2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多

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7、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，N，E，F分别在棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上，且平面 $A M N ∥$ 平面 $E F D B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $M N ∥ E F$ B、 $E F ∥ B D$ C、 $A N ∥ D F$ D、 $B E ∥$ 平面 $A M N$

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8、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ， M是AB的中点，N是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点，则直线 $M N$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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9、在矩形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ ，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、3 B、1 C、2 D、4

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10、将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）

A、甲分得黄球 B、甲分得白球 C、丙没有分得白球 D、甲分得白球，乙分得黄球

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11、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - \frac{9}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、已知直线 $l$ ， $m$ 及平面 $α$ ， $β$ ，且 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ l$ C、若 $m ∥ α$ ，则 $m ∥ l$ D、若 $m ∥ l$ ，则 $m ∥ α$

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13、 $\frac{2 - 2 i}{3 i + 4} =$ （）

A、 $\frac{1}{13} - \frac{7}{13} i$ B、 $\frac{2}{25} - \frac{14}{25} i$ C、 $\frac{2}{25} + \frac{14}{25} i$ D、 $- \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i$

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14、下列几何体中，顶点个数最少的是（）

A、四棱锥 B、长方体 C、四棱台 D、四面体

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15、如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，如图②，将 $△ A E D$ 沿 $A E$ 折起，点 $M$ 在线段 $C D$ 上．

(1)、若 $D M = 2 M C$ ，求证 $A D ∥$ 平面 $M E B$ ；

(2)、若平面 $A E D ⊥$ 平面 $B C E A$ ，是否存在点 $M$ ，使得平面 $D E B$ 与平面 $M E B$ 垂直？若存在，求此时三棱锥 $B - D E M$ 的体积，若不存在，说明理由．

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16、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $B A$ 中点.

(1)、求 $A_{1} N$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成成角的余弦值；

(3)、求 $C C_{1}$ 与平面 $C_{1} M A$ 所成角的正弦值.

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17、在① $(a + c) (\sin A - \sin C) = b (\sin A - \sin B)$ ；② $\frac{2 b - a}{c} - \frac{\cos A}{\cos C} = 0$ ；③向量 $\vec{m} = (c, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos C, \sin B)$ 平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足______.

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、在（2）条件下，若 $A B$ 边中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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18、某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组 $[60, 70)$ ，第二组 $[70, 80)$ ，第三组 $[80, 90)$ ，第四组 $[90, 100]$ （单位：分），得到如下的频率分布直方图．

(1)、求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；

(2)、根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点 $P$ 在 $△ A B_{1} C$ 内，满足 $D_{1} P = \sqrt{14}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为.

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} (m \in R)$ ，若 $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为.

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