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相关试卷

1、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 在底面 $A B C D$ 内运动（含边界），点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、若 $F$ 是棱 $A D$ 的中点，则 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ B、若 $E F ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，则 $F$ 是 $A C$ 上靠近 $C$ 的四等分点 C、点 $E$ 到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $F$ 在棱 $A B$ 上运动，则点 $F$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离最小值为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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2、已知(2＋x)(1－2x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵＋a₆x⁶ ，则（）

A、a₀的值为2 B、a₅的值为16 C、a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆的值为－5 D、a₁＋a₃＋a₅的值为120

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3、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C、最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D、甲乙不相邻的排法种数为36种

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4、某高校两名学生准备从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 这 $6$ 门选修课程中任选 $3$ 门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了 $1$ 门相同课程的概率为（）

A、 $\frac{1}{19}$ B、 $\frac{9}{19}$ C、 $\frac{10}{19}$ D、 $\frac{18}{19}$

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5、若 ${(\frac{1}{x} + a x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为 $- 1$ ，则 $38^{n} + a$ 除于13的余数是（）

A、0 B、3 C、10 D、11

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6、《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）

A、1560种 B、2160种 C、2640种 D、4140种

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7、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 $1000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）

A、 $a$ 的值为 $0.005$ B、估计这组数据的众数为 $75$ C、估计成绩低于 $70$ 分的有 $40$ 人 D、估计这组数据的第 $85$ 百分位数为 $86$

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8、某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为 $0.1$ 、 $0.5$ 、 $0.4$ ，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为 $0.4$ 、 $0.2$ 、 $0.8$ ．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（）

A、 $0.46$ B、 $0.68$ C、 $0.58$ D、 $0.64$

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9、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， E，F分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，记 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{E F} =$ （）

A、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ B、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{3}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \frac{3}{2} \overset{⃑}{c}$ C、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$ D、 $\overset{⃑}{E F} = - \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$

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10、下列运算正确的是（）

A、 ${(\cos \frac{π}{6})}^{'} = - \frac{1}{2}$ B、 ${[\ln (3 x + 1)]}^{'} = \frac{3}{3 x + 1}$ C、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3} a}{b} = 2 \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ，过点B作 $B D ⊥ A C$ ， D为垂足，求BD的最大值．

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12、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中有理项的系数的和为．

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13、根据相关研究报告显示，预计 $2025$ 年电商交易额突破 $18$ 亿元，网购用户规模接近 $9$ 亿．下表为某网店统计的近 $5$ 个月的利润 $y$ （单位：万元），其中 $x$ 为月份代号．
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
利润 $y$ ／万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4

(1)、依据表中的统计数据，计算样本相关系数 $r$ （ $r$ 精确到 $0.01$ ），判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系；若可用，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计 $2025$ 年 $5$ 月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过 $800$ 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 $9$ 折，中奖两次打 $8$ 折，中奖三次打 $6$ 折，其余情况不打折．方案二：从装有 $8$ 个形状大小、完全相同的小球（其中红球 $3$ 个，白球 $1$ 个，黑球 $4$ 个）的抽奖盒中，一次性摸出 $2$ 个球，其中奖规则为：若摸出 $1$ 个红球和 $1$ 一个白球打六折，摸出 $2$ 个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买 $1000$ 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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14、Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入 $c (x)$ 万元.其中 $c (x)$ 与x之间的关系为： $c (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + b x, 0 < x < 20, x \in N^{*} \\ 22 x + \frac{c}{x - 2} - 950, x \geq 20, x \in N^{*} \end{array}$ ，且函数 $c (x)$ 的图象过 $A (3, 9)$ ， $B (6, 24)$ ， $C (82, 1054)$ 三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.

(1)、求a，b，c的值，并写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.

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15、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 \sqrt{3}, A = \frac{π}{3}$ ，下列结论正确的是（）

A、若满足条件的三角形有2个，则 $b$ 的取值范围为 $(2 \sqrt{3}, 4)$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为3 C、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $6 \sqrt{3}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{b}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$

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16、已知 $a e^{a x} \geq ln x$ 对 $\forall x \geq 2$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[\frac{2}{e^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{ln 2}{2}, + \infty)$

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17、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示， $3 A B = 3 A A_{1} = 6 A D = \sqrt{6} A_{1} B$ ， $∠ A B C = ∠ A D D_{1} = 120^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B - E$ 的余弦值．

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18、为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
75
75
高二
69
$s_{2}^{2}$
高三
$\bar{x_{3}}$
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ 和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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19、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $cos A cos B + cos C = {sin}^{2} C - {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，求 $S_{△ A C D}$ .

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20、已知函数 $f (x) = \frac{4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1}{2 tan (\frac{π}{4} + x) {cos}^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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月份	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月	2025年4月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
利润 $y$ ／万元	8	6.3	5.1	3.2	2.4

年级	样本平均数	样本方差
高一	75	75
高二	69	$s_{2}^{2}$
高三	$\bar{x_{3}}$	55