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相关试卷

1、计算： $cos \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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2、化简： $\cos (α + β) \sin α - \sin (α + β) \cos α =$ （）

A、 $\sin β$ B、 $- \sin β$ C、 $\cos β$ D、 $- \cos β$

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3、2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用 $a$ 标记亚运会开始的日期，即 $a = 9.23$ ，用 $b$ 表示亚运会结束的日期，即 $b = 10.08$ .那么以实数 $a 、 b$ 为端点的区间可以表示为（）

A、 $\{9.23, 10.08\}$ B、 $[10.08, 9.23]$ C、 $[9.23, 10.08]$ D、 $(- \infty, 9.23] \cup [10.08, + \infty)$

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4、已知 $a > b$ ，下列不等式中一定成立是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a + 3 > b - 4$

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5、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a - 1 > b - 1$

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6、已知 $a = 1.732$ ，集合 $A = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $a$ 与 $A$ 的关系正确的是（）

A、 $a \notin A$ B、 $a \in A$ C、 $\{a\} = A$ D、 $a = A$

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7、已知集合 $A = \{x |x < 2$ 且 $x \in N\}$ ，集合 $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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8、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置（如图2），使得 $P C = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $D E ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、设 $\vec{P F} = λ \vec{P C} (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $P - E F - D$ 的正弦值为 $\frac{5}{\sqrt{26}}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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9、下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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10、如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、圆锥 $S O$ 外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $3 + \sqrt{3}$

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11、若 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$

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12、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6. 2
7. 6
8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：

认可
不认可
50 岁以下
140
60
50 岁及以上
120
80

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性经验回归方程；

(2)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联?
附： ① 经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2}$ .

(1)、当 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线的斜率为 $2 e$ ，求此切线的方程；

(2)、在（1）的前提下，求 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $f (x)$ 有 $2$ 个不同零点，求 $a$ 的取值范围．

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14、图1是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起得到直二面角 $P - A C - B$ ，如图2所示．

(1)、求异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成角；

(2)、棱 $P A$ 上是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - B C - A$ 的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{51}}{51}$ ，若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 $8$ 个大小相同的小球，其中 $4$ 个为红色， $4$ 个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．

(1)、若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 $X$ 的分布列和方差；

(2)、若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 $Y$ 的分布列和数学期望．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = A C = A A_{1} = 1, M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若 $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的中点，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角大小.

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17、“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份x
2020
2021
2022
2023
2024
销量y（万台）
1.00
1.40
1.70
1.90
2.00
某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主

10
48
女性车主
2

总计

60

(1)、求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；

(2)、请将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $99 ． 9 %$ 的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．
参考公式：
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ； $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 2.5, \sqrt{6.6} \approx 2.6$ .
备注：若 $| r | > 0.75$ ，则可判断y与x线性相关．
$χ^{2}$ 临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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18、某次调研测试中考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ 若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{1}{2}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．

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19、 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是．（结果用数字表示）

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20、某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有 $800$ 人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
$a$
$b$
$c$
剪纸
$x$
$y$
$z$
其中 $x : y : z = 5 : 3 : 2$ ，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 $\frac{2}{5}$ ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个 $50$ 人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

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年份x	2020	2021	2022	2023	2024
销量y（万台）	1.00	1.40	1.70	1.90	2.00

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主		10	48
女性车主	2
总计			60

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	高一年级	高二年级	高三年级
泥塑	$a$	$b$	$c$
剪纸	$x$	$y$	$z$

年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6. 2	7. 6	8. 8

	认可	不认可
50 岁以下	140	60
50 岁及以上	120	80

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828