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相关试卷

1、类似二维向量，定义n维向量空间中 $A (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $B (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ ，两点间“距离” $d_{A B} = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + \dots + {(b_{n} - a_{n})}^{2}} .$ 校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点.8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为型号．
型号
身高 $/ cm$
胸围 $/ cm$
腰围 $/ cm$
肩宽 $/ cm$
XXS
150
76
62
34
XS
155
80
66
36
S
160
84
70
38
M
165
88
74
40
L
170
92
78
42
XL
175
96
82
44
XXL
180
100
86
46
XXXL
185
104
90
48

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2、若椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为P，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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3、已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，点P为棱 $A A_{1}$ 上的动点，点Q为平面 $P B_{1} D_{1}$ 上的任意一点，Q到直线 $A A_{1}$ 和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（）

A、存在点P使得直线 $A A_{1}$ 与平面 $P B_{1} D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、存在直线PQ与平面 $A_{1} B_{1} D_{1}$ 所成的角大于二面角 $P - B_{1} D_{1} - A_{1}$ C、点Q所在的曲线可能为双曲线 D、点Q所在的曲线可能为抛物线

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4、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点F的直线与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 4$ B、线段AB中点到准线的距离最小值为2 C、若直线AB的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A B | = \frac{16}{3}$ D、 $tan ∠ A D F = sin θ (θ$ 为直线AB的倾斜角 $)$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{lg (a_{n} b_{n})\}$ 是等差数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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6、纸上画有一圆O，在圆内任取一定点 $A ($ 异于点 $O)$ ，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕 $l .$ 继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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7、反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（）

A、 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $y^{2} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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8、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} + (n + 1) a_{n + 1}^{2} = 1$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、2024 D、 $\frac{1}{2024}$

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9、已知圆C： $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ ，直线l： $y = k (x - 2) + 1$ ，则直线l被圆C截得的最短弦长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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10、已知方向向量为 $(1, 2)$ 的直线倾斜角为 $α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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11、已知抛物线C： $y = 4 x^{2}$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{16}$ B、 $y = \frac{1}{16}$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、已知 $\vec{a} = (1, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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14、已知函数 $f (x) = (a x - 1) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq e^{x} \ln (x + 1) - x - 1$ .

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15、某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织 $A$ 、 $B$ 两团体运动员进行比赛.其中 $A$ 团体的运动员3名，其中种子选手2名； $B$ 团体的运动员5名，其中种子选手 $m (1 \leq m \leq 5)$ 名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、已知 $m = 2$ ，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体 $A$ 的概率；

(2)、已知 $m = 1$ ，设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及其期望.

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16、已知集合 $A = \{y |y = 4 x - 16, x \in [2, 3]\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 3 x - a^{2} - 3 a > 0, a > 0\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若命题“ $x \in A$ ”是命题“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = |x - a| + x + \frac{3}{x} + ||x - a| - x - \frac{3}{x} + 2|$ .若函数 $f (x) \geq 6$ 对一切 $x \in R^{+}$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = 3 \cdot 2^{x} + 2$ ，对于任意的 $x_{2} \in [0, 1]$ ，都存在 $x_{1} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + 2 f (x_{2} + m) = 13$ 成立，则实数m的取值范围为．

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19、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ，则当 $x < 1$ 时的解析式 $f (x) =$ .

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20、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 所有可能的取值为1，2，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .下列正确的为（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则 $H (X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则 $H (X) \geq H (Y)$

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型号	身高 $/ cm$	胸围 $/ cm$	腰围 $/ cm$	肩宽 $/ cm$
XXS	150	76	62	34
XS	155	80	66	36
S	160	84	70	38
M	165	88	74	40
L	170	92	78	42
XL	175	96	82	44
XXL	180	100	86	46
XXXL	185	104	90	48