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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $tan C$ 的值.

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2、现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期 $T$ 内开始分裂，记 $n (n \in N^{*})$ 个周期结束后，细胞的数量为 $X_{n}$ ，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求 $X_{2}$ 的分布列和数学期望；

(2)、求 $P (X_{n} = 2)$ ；

(3)、求证： $P (X_{n} = 3) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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3、已知直线 $x - y - 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，且 $|A B| = 8$ .

(1)、求p；

(2)、M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，求 $△ M N F$ 面积的最小值.

(3)、若点 $P (- 4, 0)$ ，问x轴上是否存在点 $T$ ，使得过点 $T$ 的任一条直线与抛物线 $C$ 交于点Q、R两点，且点 $T$ 到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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4、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x, a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求与 $f (x)$ 相切，且垂直于直线 $x + 3 y = 0$ 的直线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、如图，在直三棱柱形状的木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1 ， B A ⊥ B C ， D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线 $l$ 与 $A E$ 垂直.

(1)、画出直线 $l 并$ 说明作法和理由；

(2)、当E为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 重心时，求直线l与平面 $A D B_{1}$ 所成的角的正弦值.

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6、已知公差不为零的等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 4 a_{4}$ 成等比数列， $4 b_{2}, 2 b_{3}, b_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = 3^{a_{n}}$ ，去掉数列 $\{c_{n}\}$ 中的第 $3 k$ 项 $(k \in N^{*})$ ，余下的项顺序不变，构成新数列 $\{t_{n}\}$ ，写出数列 $\{t_{n}\}$ 的前4项并求 $\{t_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

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7、某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 $△ A B C$ 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿 $△ A B C$ 三边翻折后交于点 $P$ .若 $A C : A B : B C = 6 : 5 : 4$ ，则 $\cos ∠ A C B =$ ， $P A$ 的值为.

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8、若 $(x - k \frac{y^{2}}{x} + 1) {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{4} y^{5}$ 的系数为28，则 $k$ 的值为.

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9、椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C₁ ．则C₁的离心率为.

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10、已知函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R, x f (y) + y f (x) = f (x y)$ ，且当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ .下列说法正确的是（）

A、 $f (0) + f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、当 $|x| > 1$ 时， $x f (x) < 0$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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11、已知函数 $f (x) = |\sin x| + |\cos x|$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的值域是 $[1, \sqrt{2}]$ C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $f (x)$ 不是中心对称函数

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12、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{50} (x_{1} < x_{2} < \dots < x_{50})$ 的方差 $s^{2} = \frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{50} {(x_{i} - 2)}^{2}$ ，则（）

A、这组样本数据的总和等于100 B、这组样本数据的中位数一定为2 C、数据 $3 x_{1} + 1$ ， $3 x_{2} + 1$ ， …， $3 x_{50} + 1$ 的标准差为3s D、现构造新的样本数据 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \dots, \frac{x_{49} + x_{50}}{2}, \frac{x_{50} + x_{1}}{2}$ ，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差

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13、已知棱长为2的正方体的几何中心为 $O$ ，平面 $α$ 与以 $O$ 为球心的球相切，若 $α$ 截该正方体所得多边形始终为三角形，则球 $O$ 表面积的取值范围为（）

A、 $[8 π, 12 π)$ B、 $[4 π, 8 π)$ C、 $[4 π, 12 π)$ D、 $(0, 4 π)$

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14、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线 $A F_{2}$ 交另一渐近线于点B，若 $|A B| = b$ ，则双曲线C的焦距为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $12$

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15、已知 $α, β$ 都是锐角， $\cos α = \frac{3}{5}, \cos (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos β$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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16、若不等式 $e^{x} \geq k x$ （ $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $e^{2}$

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为60°， $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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18、已知集合 $A = \{x | \sin x = 0\}$ ， $B = \{x | \log_{2} x < 2\}$ ，则集合 $A \cap B =$

A、 $\{0\}$ B、 $\{π\}$ C、 $\{0, π\}$ D、 $\{\frac{π}{2}\}$

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19、已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 $N (220, 20^{2})$ ．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．

(1)、求该机器生产的零件为不合格品的概率；

(2)、从该机器生产的零件中随机抽取n（ $n \geq 2$ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ 取得最大值时n的值．
附：若 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，取 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.95$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， E为 $P A$ 中点， $P D = A D = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小.

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