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相关试卷

1、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $△ A A_{1} C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的正弦值．

(3)、过 $A_{1}$ 作与 $A F$ 垂直的平面 $α$ ，交直线 $B C$ 于点 $Q$ ，求 $B Q$ 的长度．

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2、为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分 $k$ 的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中 $\frac{1}{7} < a < \frac{1}{6}$ ．
综合得分 $k$ 的范围
减排器等级
减排器利润率
$k \geq 85$
一级品
$2 a$
$75 \leq k < 85$
二级品
$3 a^{2}$
$70 \leq k < 75$
三级品
$a^{2}$

(1)、若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；

(2)、将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记 $X$ 为其中二级品的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？

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3、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为1的等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{4}$ .

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4、若函数 $f (x) = \ln x + 2 x^{2} - a x$ 的图象上存在与直线 $2 x - y = 0$ 平行的切线，则实数a的取值范围是．

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5、某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有种．

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6、 $(2 + x) {(x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）．

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7、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，下列结论正确的有（）

A、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 有极大值，且极大值点 $x_{0} \in (1, 2)$ B、 $e \ln 2 > \ln 3$ C、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值为2 D、若 $P$ 、 $Q$ 分别是曲线 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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8、甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件 $E$ 表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件 $F$ 表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件 $G$ 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　）

A、事件 $F$ 与 $G$ 是互斥事件 B、事件 $E$ 与事件 $G$ 不相互独立 C、 $P (G) = \frac{13}{30}$ D、 $P (G | E) = \frac{1}{2}$

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9、关于 ${(7 - x)}^{7}$ 的展开式，下列判断正确的是（）

A、展开式共有 $7$ 项 B、展开式的各二项式系数的和为128 C、展开式的第 $7$ 项的二项式系数为49 D、展开式的各项系数的和为 $6^{7}$

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10、若偶函数 $f (x)$ 定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty) ， f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的图象如图所示，则不等式 $f (x) f^{'} (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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11、已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $P (Y \geq 5) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往 $A, B, C$ 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（）

A、18 B、24 C、36 D、48

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13、已知角 $α$ 顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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14、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x - 5 \geq 0\}, B = \{x |a - 3 < x < a + 4\}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |a > 1\}$ B、 $\{a |1 < a < 2\}$ C、 $\{a |a < 2\}$ D、 $\{a |1 \leq a \leq 2\}$

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15、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i + 1}{2 + i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知 $A_{m} = (\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, m} \end{matrix}) (m \geq 2)$ 是 $m^{2}$ 个正整数组成的 $m$ 行 $m$ 列的数表，当 $1 \leq i < s \leq m, 1 \leq j < t \leq m$ 时，记 $d (a_{i, j}, a_{s, t}) = |a_{i, j} - a_{s, j}| + |a_{s, j} - a_{s, t}|$ ．设 $n \in N^{*}$ ，若 $A_{m}$ 满足如下两个性质：
① $a_{i, j} \in \{1, 2, 3; \dots, n\} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, m)$ ；
②对任意 $k \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，存在 $i \in \{1, 2, \dots, m\}, j \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，使得 $a_{i, j} = k$ ，则称 $A_{m}$ 为 $Γ_{n}$ 数表．

(1)、判断 $A_{3} = (\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array})$ 是否为 $Γ_{3}$ 数表，并求 $d (a_{1, 1}, a_{2, 2}) + d (a_{2, 2}, a_{3, 3})$ 的值；

(2)、若 $Γ_{2}$ 数表 $A_{4}$ 满足 $d (a_{i, j}, a_{i + 1, j + 1}) = 1 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)$ ，求 $A_{4}$ 中各数之和的最小值；

(3)、证明：对任意 $Γ_{4}$ 数表 $A_{10}$ ，存在 $1 \leq i < s \leq 10, 1 \leq j < t \leq 10$ ，使得 $d (a_{i, j}, a_{s, t}) = 0$ ．

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17、已知函数 $f (x) = sin x + ln (1 + x) - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 2 π)$ 内极值点的个数；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $\sum_{i = n + 1}^{2 n} sin (\frac{1}{i - 1}) < 2 ln \frac{2 n - 1}{n - 1} - ln 2$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ .

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18、如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 $60 °$ ，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD．

(1)、若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为 $60^{\circ}$ ？若存在，确定出M点位置；若不存在，请说明理由．

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19、某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款 $A p p$ 人数的满意度统计数据如下：
月份 $x$
1
2
3
4
5
不满意的人数 $y$
120
105
100
95
80

(1)、求不满意人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)、工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到下表：
根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？

使用App
不使用App
女性
48
12
男性
22
18
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理：如图，地面内有圆 $O_{1}$ ，其圆心在线段 $M B$ 上，且与线段 $M B$ 交于不与 $M, B$ 重合的点 $A$ ， $P M ⊥$ 地面，且 $B M = 2 P M = 4$ ， $P$ 点为人眼所在处，视网膜平面与直线 $B M$ 垂直. 过 $A$ 点作平面 $α$ 平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆 $O_{1}$ 上任意一点到 $P$ 点的直线与平面 $α$ 交点的轨迹（令为曲线 $C$ ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线 $C$ 与圆 $O_{1}$ 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆 $O_{1}$ 的影像为圆时，圆 $O_{1}$ 的半径 $r$ 为. 当圆 $O_{1}$ 的半径 $r$ 满足 $\frac{1}{2} \leq r \leq 1$ 时，视网膜平面上的圆 $O_{1}$ 的影像的离心率的取值范围为.

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综合得分 $k$ 的范围	减排器等级	减排器利润率
$k \geq 85$	一级品	$2 a$
$75 \leq k < 85$	二级品	$3 a^{2}$
$70 \leq k < 75$	三级品	$a^{2}$

X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$

月份 $x$	1	2	3	4	5
不满意的人数 $y$	120	105	100	95	80

	使用App	不使用App
女性	48	12
男性	22	18

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828