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相关试卷

1、如图，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $\vec{P F_{2}} = 2 \vec{F_{2} Q}$ ，则直线 $P F_{1}$ 的斜率为.

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2、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为 $C C_{1}$ 中点， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，则直线 $B E$ 与 $A C$ 夹角的余弦值为．

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3、已知 $\overset{⃑}{O A} ⊥ \overset{⃑}{A B}$ ，且 $\overset{⃑}{O A} = (1, 1, \sqrt{2})$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B} =$ ．

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4、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C = A A_{1} = 2, E$ 、 $F$ 分别是 $B C 、 A_{1} C_{1}$ 的中点，D在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A、 $E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ B、直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、若 $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若M是 $B_{1} A_{1}$ 的中点，则 $F$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、直线 $B D$ 与直线 $E F$ 所成角最小时，线段 $B D$ 长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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5、下面四个结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 3, x, 9)$ ，若 $x < \frac{3}{10}$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为钝角 B、已知 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 5)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{5} (2, 0, - 1)$ C、若直线 $a x + b y + c = 0$ 经过第三象限，则 $a b > 0$ ， $b c < 0$ D、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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6、已知直线 $l_{1} : a x + y - 3 a = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + (a - 1) y - 6 = 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $(3, 0)$ B、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(3, 0)$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{1}{3}$ D、存在 $a \in R$ ，使 $l_{1} ∥ l_{2}$

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7、已知点 $A (2, 3), B (- 3, 2)$ ，若直线 $a x + y + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [2, + \infty)$ C、 $[- 2, 1)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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8、如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} =$ $x \vec{O A} + y$ $\vec{O B} + z$ $\vec{O C}$ ，则x，y，z的值分别为（）

A、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{6}$ C、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{6}, z = \frac{1}{6}$ D、 $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$

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9、圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$ 的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4$

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10、如图，已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $P$ 是椭圆上的一点， $P F ⊥ x$ 轴， $O P // A B$ （O为原点），则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 的公切条数为（）

A、2条 B、1条 C、3条 D、4条

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12、已知点 $M (2, 0), N (6, 4)$ ，则以 $M N$ 为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$

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13、直线 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14、在空间四边形 $A B C D$ 中，下列表达式化简结果与 $\vec{A B}$ 相等的是（）

A、 $\vec{A C} + \vec{C D}$ B、 $\vec{A C} + \vec{B C}$ C、 $\vec{D C} + \vec{C B} - \vec{D A}$ D、 $\vec{A C} + \vec{B D} - \vec{B C}$

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15、函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的单调递增区间为.

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16、下列函数与 $y = x$ 表示同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $m = \frac{n^{2}}{n}$

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17、对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调函数.且函数 $y = f (x)$ ， $x \in [m, n]$ 的值域是 $[m, n]$ ，则称区间 $[m, n]$ 是函数 $f (x)$ 的一个“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 1]$ 是函数 $f (x) = x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、如果函数 $f (x) = x^{2} + a$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在“优美区间”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、如果 $[m, n]$ 是函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“优美区间”，求 $n - m$ 的最大值．

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18、已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} - 1$ .

(1)、若 $a \in R$ ，求不等式 $a f (x) + g (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $b \leq 3$ ，对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $b f (x_{1}) + f (x_{2}) = g (x_{1}) + b + 8$ 成立，求 $b$ 的取值范围.

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19、定义在R上的函数 $f (x) = a - \frac{a + 1}{x^{2} + 1}$ 满足 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $a$ 值，并判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、解不等式 $f (3 x - 1) > f (x + 2)$ .

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20、定义在R上的 $f (x)$ ，在 $[0, + \infty)$ 上增函数，且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) + f (- 2) > 2$ 的解集为.

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