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相关试卷

1、某省实行“ $3 + 1 + 2$ ”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定 $A, B, C, D, E$ 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中， $A$ 等级排名占比 $15 %$ ，赋分分数区间是 $86 \sim 100$ ； $B$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $71 \sim 85$ ； $C$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $56 \sim 70$ ； $D$ 等级排名占比 $13 %$ ，赋分分数区间是 $41 \sim 55$ ； $E$ 等级排名占比 $2 %$ ，赋分分数区间是 $30 \sim 40$ ；现从全年级的生物成绩中随机抽取 $100$ 名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、从生物原始成绩为 $[60, 80)$ 的学生中用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，从这 $6$ 人中任意抽取 $2$ 人，求 $2$ 人均在 $[70, 80)$ 的概率；

(3)、用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的 $B$ 等级及以上（含 $B$ 等级）？（结果保留整数）

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2、第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 $A$ 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 $A$ 社区参加市亚运知识竞赛．已知 $A$ 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，通过初赛后再通过决赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)、求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2)、求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3)、某品牌商赞助了 $A$ 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．

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3、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为.

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4、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的平均数5，则数据 $3 x {}_{1}+ 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3}^{} + 2, \cdot \cdot \cdot, 3 x_{n} + 2$ 的平均数为.

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5、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间中的一组基底，则 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 也是空间的一组基底 D、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线

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6、已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $B$ 发生时 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$

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7、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 $A (- 3, 4)$ 的直线 $l$ 的一个法向量为 $(1, - 3)$ ，则直线 $l$ 的点法式方程为： $1 \times (x + 3) + (- 3) \times (y - 4) = 0$ ，化简得 $x - 3 y + 15 = 0$ .类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 $M (1, 2, 3)$ 的平面的一个法向量为 $\bar{m} = (1, 2, - 4)$ ，则该平面的方程为（）

A、 $x - 2 y - 4 z + 7 = 0$ B、 $x + 2 y - 4 z + 7 = 0$ C、 $x + 2 y + 4 z + 7 = 0$ D、 $x + 2 y - 4 z - 7 = 0$

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8、在如图所示的电路中，三个开关 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合与否相互独立，且在某一时刻 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则此时灯亮的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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9、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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10、设 $x, y \in R$ ， $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y, z)$ ， $\vec{c} = (x, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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11、装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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12、直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的方向向量是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, - 2)$

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13、在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为 $29, 30, 38, 25, 37, 40, 42, 32$ ，那么这组数据的第75百分位数为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

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14、函数 $f (x) = \frac{1}{x + 2} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域为．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + a, x \leq a \\ x^{2}, x > a \end{cases}$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $[- 4, 0]$ D、 $[- 2, \frac{1}{4}]$

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16、过点 $A (x_{0}, y_{0})$ 作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = μ (μ \neq 0)$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是 $K_{A} (μ)$ 定积直线或 $K_{(x_{0}, y_{0})} (μ)$ 定积直线．

(1)、已知直线 $a$ ： $y = k x (k \neq 0)$ ，直线 $b$ ： $y = - \frac{1}{3 k} x$ ，试问是否存在点 $A$ ，使得直线 $a$ ， $b$ 是 $K_{A} (μ)$ 定积直线？请说明理由．

(2)、在 $△ O P M$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 与点 $M$ 均在第一象限，且点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 3$ 的图象上．若直线 $O P$ 与直线 $O M$ 是 $K_{(0, 0)} (1)$ 定积直线，直线 $O P$ 与直线 $P M$ 是 $K_{P} (- 2)$ 定积直线，直线 $O M$ 与直线 $P M$ 是 $K_{(x_{0}, y_{0})} (- \frac{2}{x_{0}^{2}})$ 定积直线，求点 $P$ 的坐标．

(3)、已知直线 $m$ 与 $n$ 是 $K_{(- 2, 4)} (- 4)$ 定积直线，设点 $O (0,0)$ 到直线 $m$ ， $n$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的取值范围．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴长为4，且椭圆 $C$ 的离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 且过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，求 $△ F_{1} P Q$ 的面积．

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18、已知 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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19、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值．

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20、已知点 $A (0, 1, - 1), B (2, 2, 1), O$ 为坐标原点，向量 $\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}$ ，计算：

(1)、求向量 $\vec{b}$ 同向的单位向量 $\vec{b_{0}}$ ；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

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