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相关试卷

1、已知实数集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} (n \geq 3)$ ，定义 $φ (A) = {a_{i} \cdot a_{j} ∣ a_{i}, a_{j} \in A, i \neq j}$

(1)、若 $A = \{- 3, 0, 1, 4\}$ ，求 $φ (A)$ ；

(2)、若 $φ (A) = \{- 10, - 8, - 2, 0, 4, 5, 20\}$ ，求集合 $A$ ；

(3)、若 $A$ 中的元素个数为9，求 $φ (A)$ 的元素个数的最小值．

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2、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + b) x + 2 a b$ ．

(1)、若 $f (1) = 1$ ，求 $a + 2 b$ 的最小值；

(2)、若 $f (0) = 4$ ，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集（用 $a$ 表示）．

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3、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 $y$ （万元）与年产量 $x$ （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 $y = \frac{x^{2}}{5} - 48 x + 8000$ ，已知此生产线年产量最大为 $210$ 吨.

(1)、求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 $;$

(2)、若每吨产品平均出厂价为 $40$ 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润 $?$ 最大利润是多少 $?$

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4、已知 $y = f (x)$ 定义域是 $R$ 的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + (2 - a) x + 3$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (2)$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 5$ ，不等式 $f (x) > m + 2 x - 6$ 在区间 $[1, 3]$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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5、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}$ ， $B = \{x| a - 1 < x < 2 a + 1\}$ .

(1)、当 $a = \frac{5}{4}$ 时，求 $∁_{R} B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、对于函数 $f (x)$ ，若对于任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in R$ ， $f (x_{1})$ ， $f (x_{2})$ ， $f (x_{3})$ 为某一三角形的三边长，则称 $f (x)$ 为“可构成三角形的函数”，已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x + a}{x^{2} + x + 1} (a \geq 1)$ 是“可构成三角形的函数”，则实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点（2， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），则 $f (9) =$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ 2 x^{2} - m x + 1 = 0\}$ ， $2 \in A$ ，则 $m$ 的值为.

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9、设 $x, y \in R$ ，定义： $M (x, y) = \{\begin{array}{l} x (x \geq y) \\ y (x < y) \end{array}$ ， $m (x, y) = \{\begin{array}{l} x (x \leq y) \\ y (x > y) \end{array}$ ，下列式子正确的是（）

A、 $M (5, 3) + m (2, 1) = 6$ B、 $m (|x + y|, |x - y|) = |x| - |y|$ C、 $M (|x + y|, |x - y|) = |x| + |y|$ D、 $m (M (x, y), m (x, y)) = m (x, y)$

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10、下列命题正确的是（）

A、若 $a \neq 0$ ，则 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为2 B、若 $a > - 1$ ，则 $a + \frac{1}{a + 1}$ 的最小值为1 C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则 $a (a + b)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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11、若集合 $A = \{1, 9, x\}$ ， $B = \{1, x^{2}\}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、0 C、1 D、3

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12、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ ，则下列命题中不正确的是（）

A、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (f (x))$ 也是偶函数 B、若 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (f (x))$ 也是奇函数 C、若 $f (x)$ 是单调递减函数，则 $f (f (x))$ 也是单调递减函数 D、若 $f (x)$ 是单调递增函数，则 $f (f (x))$ 也是单调递增函数

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则“ $a = 1$ ”是“ $f (a + 1) = f (2)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、不等式 $(3 - x) (x + 2) > 0$ 的解集为（）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ C、 ${x ∣ x > 3$ 或 $x < - 2}$ D、 ${x ∣ x > 2$ 或 $x < - 3}$

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15、下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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16、下列函数在定义域上为减函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = - x^{3}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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17、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2 x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{2})$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1]$

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18、命题“ $\exists x \in N, 3 x - 5 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in N, 3 x - 5 < 0$ B、 $\forall x \in N, 3 x - 5 > 0$ C、 $\exists x \in N, 3 x - 5 \leq 0$ D、 $\forall x \in N, 3 x - 5 \leq 0$

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19、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{0, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 4\}$

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20、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ 、 $A B E F$ 的边长都是 $1$ ，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 $M$ 、 $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ .

(1)、证明： $M N //$ 平面 $C B E$ ；

(2)、当 $a$ 为何值时， $M N$ 的长最小并求出最小值；

(3)、当 $M N$ 的长最小时，求平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值.

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