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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上，中心在坐标原点.以 $E$ 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 $6 \sqrt{2}$ .

(1)、求栯圆 $E$ 的方程；

(2)、设过点 $M (2, 0)$ 的直线 $l$ （不与坐标轴垂直）与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, C$ ，与直线 $x = 16$ 交于点 $P$ .点 $B$ 在 $y$ 轴上， $D$ 为坐标平面内的一点，四边形 $A B C D$ 是菱形.求证：直线 $P D$ 过定点.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ． $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - P$ 的余弦值；

(3)、设点 $G$ 在 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{3}{4}$ ．判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由．

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3、某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20

(1)、根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；

(3)、生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若 $f (x) \geq a$ 对 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
条件①： $f (0) = - 1$ ；
条件②： $f (x)$ 的最大值为 $2$ ；
条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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5、设 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 $M = \{k | a_{k} = b_{k}, k \in N^{*}\}$ ，给出下列4个结论：
①若 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列， $\{b_{n}\}$ 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是.

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $\frac{3 a_{1}}{2}, \frac{a_{3}}{4}, a_{2}$ 成等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q =$ .

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7、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，且 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 4$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的值为， $|\overset{⃑}{a} - t \overset{⃑}{b}| (t \in R)$ 的最小值为．

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8、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \lg (x + 3)$ 的定义域为．

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9、如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线 $P E$ 交BC于点Q．当 $\vec{P D} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，下列结论中一定成立的是（）

A、 $O Q ⊥ B C$ B、 $O P ⊥ A D$ C、 $P Q / / A B$ D、 $O P / / A C$

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10、“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长 $a, b, c$ 求三角形面积 $S$ ，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有面积为 $3 \sqrt{15}$ 的 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（）

A、9 B、12 C、18 D、36

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11、已知定点 $M (1, 3)$ 和拋物线 $C : x^{2} = 8 y, F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $N$ 是抛物线 $C$ 上的点，则 $|N F| + |N M|$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，若 $E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\vec{C E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{5}{4} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{5}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

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13、设等差数列的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 7$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、60 B、80 C、90 D、100

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14、已知角 $a$ 的终边在第三象限，且 $\tan α = 2$ ，则 $\sin α - \cos α =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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15、已知集合 $A = {- 1, 0, 2}$ ， $B = \{x| x^{2} \leq 1\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cup B = B$ D、 $A \cap B = {- 1, 0}$

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16、对于函数 $f (x) = a x^{2} + (1 + b) x + b - 1 (a \neq 0)$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) = m x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 关于参数m的不动点．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = - 2$ 时，求 $f (x)$ 关于参数1的不动点；

(2)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x \in (0, 2]$ 上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；

(3)、对于任意的 $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，总存在 $b \in [2, 5]$ ，使得函数 $f (x)$ 有关于参数m（其中 $m > 2$ ）的两个相异的不动点，试求m的取值范围．

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17、函数 $f (x) = \frac{a x - b}{4 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 3 + a, a + 1)$ 上的奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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18、随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产 $x$ 台，需另投入成本 $G (x)$ 万元，且 $G (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} + 80 x, 0 < x \leq 40 \\ 201 x + \frac{3600}{x} - 2020, 40 < x \leq 80 \end{cases}$ ，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)、写出年利润 $W (x)$ 万元关于年产量 $x$ 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 4 x$

(1)、求函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(2)、画出 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象，并写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的单调区间；

(3)、解不等式 $f (x) > - 3$ .

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20、已知集合 $P = \{x | - 2 \leq x \leq 10\}$ ， $Q = \{x | 1 - m \leq x \leq 1 + m\}$ .

(1)、 $m = 8$ 时求 $(∁_{R} P) \cup Q$ ；

(2)、 $x \in P$ 是 $x \in Q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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等级	一等品	二等品	三等品	四等品
售价/（元/件）	24	22	18	16