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1、对于函数 $y = f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点；若 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的稳定点；若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ 则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的周期点.已知函数 $f (x) = 2 x + a - 1$ ， $g (x) = x^{2} + (a + 2) x - 1$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $g (x)$ 的稳定点；

(3)、若 $y = g (x) - f (x)$ 存在周期点，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = - \frac{4}{x^{2}} + \frac{2 a}{x} - 5$ ， $g (x) = x^{2} - a x + a$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $x \in [1, 2]$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $x \in [1, 2]$ ，求 $g (x)$ 的最小值；

(3)、若 $\forall x \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \geq g (x)$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ，若 $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ 是定义在 $(- 2, \frac{b - a}{2})$ 上的奇函数且 $f (1) = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 2, \frac{b - a}{2})$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (- 3 - 4 t) > 0$ .

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5、已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ， $B = {x ∣ 2 - a < x < 2 + a}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合 $A$ 叫做有限集，用 $card (A)$ 来表示有限集合 $A$ 中元素的个数.例如， $A = \{a, b, c\}$ ，则 $card (A) = 3$ ，一般地，对任意两个有限集合 $A$ ， $B$ ，有 $card (A \cup B) =card (A) +card (B) - card (A \cap B)$ .例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合 $A$ 表示田径运动会参赛的学生，用集合 $B$ 表示球类运动会参赛的学生，就有 $A =$ ${$ $x ∣ x$ 是田径运动会参赛的学生 $}$ ， $B =$ ${$ $x ∣ x$ 是球类运动会参赛的学生 $}$ ，那么 $A \cap B =$ ${$ $x ∣ x$ 是两次运动会都参赛的学生 $}$ ， $A \cup B =$ ${$ $x ∣ x$ 是所有参赛的学生 $}$ ，则 $card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B) = 8 + 12 - 3 = 17$ ，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 300\}$ ，集合 $B = \{x ∣ x \in A, x = 3 k, k \in N\}$ ，集合 $C = \{x ∣ x \in A, x = 4 k, k \in N\}$ ，集合 $D = \{x ∣ x \in A, x = 5 k, k \in N\}$ ，则 $card (B \cup C \cup D) =$ .

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 x$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在第一象限单调递增，则 $m =$ .

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9、已知 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ α < x < β < 0}$ ，则 $g (x) = (\frac{1}{x} - a) (c x^{2} + b x + a) > 0$ 的解可以是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{β})$ B、 $(\frac{1}{β}, \frac{1}{α})$ C、 $(\frac{1}{α}, 0)$ D、 $(0, \frac{1}{a})$

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10、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 2$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ C、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为4 D、 $\frac{4}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 4$

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11、下列计算正确的是（）

A、 $3^{- 1} + \sqrt{0.01} = \frac{1}{13}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5} (a > 0)$ C、 $\sqrt[2024]{{(π - 4)}^{2024}} = 4 - π$ D、 $\sqrt{a} \sqrt[3]{a} \sqrt[6]{a} = a (a > 0)$

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12、已知 $f (x)$ 是二次函数，且对于任意的实数 $x$ 、 $y$ ，函数 $f (x)$ 满足函数方程 $f (x) + f (y) = f (x + y) + x y + 2$ ，如果 $f (1) = \frac{5}{2}$ .下列选项错误的是（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $y = f (x) + x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $y = f (x) - x$ 为偶函数 D、 $y = f (x + 1)$ 为偶函数

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13、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + a, x < 1 \\ x^{2} + a x + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，满足：对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $[- 2, \frac{1}{2})$ C、 $[- 2, \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

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14、“ $a > 0 > b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $x^{2} - 2 x + 3$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 (x \geq 1)$ C、 $x^{2} - 2 x - 3$ D、 $x^{2} - 2 x - 3 (x \geq 1)$

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16、已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， ${(x - 1)}^{2} \leq 0$ ，命题 $q$ ： $\forall x > 0$ ， $x^{2} > x$ ，则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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17、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = \frac{1}{x + 1}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = |x|$ D、 $y = \{\begin{array}{l} x^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{array}$

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18、若函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 1}$ ，则其定义域为（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4]$

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19、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 9, x \in N\}$ ， $B = \{- 3, - 1, 1, 2, 5, 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 3, - 1, 0, 1, 2, 5, 7\}$

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20、已知函数 $f (x) = a x - \ln (1 - x) (a \in R) .$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的值；

(3)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $|x_{2} - x_{1}| > e - 1$ ，求a的取值范围.

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