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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} - (λ + 3) x + λ ln x$ .

(1)、若 $λ = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $λ$ 的取值范围.

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2、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ S A D$ 为等腰直角三角形， $E$ 为棱 $S D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、若 $S A = A B = 2$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，直线 $l : \frac{x}{c} + \frac{a y}{b c} = 1$ 与 $C$ 的交点为 $A$ ，若点 $A$ 到 $C$ 的左焦点的距离不小于点 $A$ 到 $C$ 的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为.

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 4, x \geq 1 \\ a x - 2, x < 1 \end{array}$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为.

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5、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X > 8) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 3) =$ .

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6、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, A$ 为 $C$ 上第一象限的点，且 $|A F| = 2$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则（）

A、 $|O A| = \sqrt{5}$ B、若 $|P Q| = 6$ ，则直线 $l$ 倾斜角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ O P Q$ 的面积为6，则直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点 $A$ 作圆 $E$ 的两条切线，则两切点连线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$

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7、已知函数 $f (x) = 3 cos (3 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $(\frac{2 π}{9}, 0)$ 为 $f (x)$ 的图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到 $g (x)$ 的图象，则曲线 $y = g (x)$ 与直线 $y = x$ 有4个交点

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8、已知直线 $l, m, n$ 是三条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $l$ $//$ $m, l$ $//$ $n, m \subset α, n \subset α$ ，则 $l$ $//$ $α$ B、若 $l ⊥ α, l$ $//$ $m, m ⊄ β, α ⊥ β$ ，则 $m$ $//$ $β$ C、若 $l ⊥ m, l ⊥ n, m \subset α, n \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l$ $//$ $α, l \subset β, α \cap β = m, m$ $//$ $n$ ，则 $l$ $//$ $n$

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9、已知 $a > 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $(\sqrt[x]{a} - 1) ln a + x ln x = 0$ 有两个不同的正根，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, e^{e})$ B、 $(e^{e}, + \infty)$ C、 $(1, e^{\frac{1}{e}})$ D、 $(e^{\frac{1}{e}}, + \infty)$

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10、已知某条线路上有 $A, B$ 两辆相邻班次的 $BRT$ （快速公交车），若 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{1}{3}$ ，在B准点到站的前提下 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在 $A$ 准点到站的前提下B不准点到站的概率为 $\frac{7}{16}$ ，则B准点到站的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{3}{8}$

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11、中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为 $36 π$ 的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为 $81 π$ 的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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12、已知 $α, β$ 均为锐角，若 $tan α = \frac{1}{3}, cos β = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (α + β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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13、将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、68 B、70 C、72 D、74

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14、 $(4 - 3 i) (2 - 3 i) =$ （）

A、 $17 - 18 i$ B、 $- 1 - 18 i$ C、 $- 1 + 6 i$ D、 $17 + 12 i$

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15、已知集合 $A = \{x |1 < 3^{2 x - 1} < 243\}, B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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17、已知 $△ A B C$ 的顶点为 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 4)$ 、 $C (5, 0)$ .

(1)、求 $A B$ 边所在直线的方程；

(2)、求 $A B$ 边上的高线所在直线的方程；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D, C D ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 4, B D = B P, △ P C D$ 为等边三角形.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、若 $△ A B D$ 为等边三角形，求平面 $P B D$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值.

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19、函数 $f (x) = \cos x - \cos 2 x$ 是

A、奇函数，且最大值为2 B、偶函数，且最大值为2 C、奇函数，且最大值为 $\frac{9}{8}$ D、偶函数，且最大值为 $\frac{9}{8}$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明你的结论；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数a的取值范围.

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