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相关试卷

1、如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在 $y$ 轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线 $l : y = a (x - 2)$ . 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} \geq S_{2})$ ，则 $S_{1} : S_{2} = 3 : 1$ ；
②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域有 $1$ 个公共点；
③当 $a \in [- 1, 1]$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域的边界曲线有 $2$ 个公共点．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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2、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $6$

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3、若 $\overset{⃑}{d} = (1, 1, - 2)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\overset{⃑}{n} = (- 1, 3, 0)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、直线 $l$ 在平面 $α$ 内 B、平行 C、相交但不垂直 D、垂直

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4、圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 关于 $x$ 轴对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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5、过点 $M (- 2, a)$ ， $N (a, 4)$ 的直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6、已知两个向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $6$

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7、直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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8、如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B / / A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $C M$ （不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 $E - B N - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出的 $\frac{C E}{E M}$ 值，若不存在请说明理由．

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9、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ，（ $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的日销售收入为505元．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - m| + b$ ．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值．

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10、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 5, x \leq 1 \\ - 2 x^{2} + 8, x > 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (2)]$ 的值为（）

A、 $11$ B、 $0$ C、 $5$ D、 $4$

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12、设函数 $f (x) = \frac{e^{2 x} + \sin x}{1 + x^{2}}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $P A$ $∥$ 面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求直线PA与平面 $P B D$ 的夹角的正弦值.

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14、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求点 $A_{1}$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离；

(2)、求直线 $F C_{1}$ 到直线 $A E$ 的距离；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离；

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15、写出满足下列条件的直线的方程.

(1)、经过点 $A (8, - 2)$ ，斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

(2)、经过点 $B (- 2, 0)$ ，且与 $x$ 轴垂直；

(3)、斜率是 $- 4$ ，在 $y$ 轴上的截距是7；

(4)、在 $y$ 轴上的截距是2，且与 $x$ 轴平行；

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16、 $(\vec{A B} - \vec{C B}) + \vec{C C_{1}}$ 运算的结果是．

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17、在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线 $l_{1} : x - m y + 2 m - 1 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m - 2 = 0$ 的交点为P，过点O分别向直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = (\sqrt{x} + a) e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(3)、证明： $f (x)$ 有最小值，且最小值小于 $f (1)$ ．

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19、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > b\}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 b m \leq 0$ 的解集中恰有5个正整数，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 $50$ 米、圆心角为60°的扇形 $O A B$ 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点 $M$ 、 $N$ 在线段 $O B$ 上，另两个顶点 $P$ 、 $Q$ 分别在弧 $A B$ 、线段 $O A$ 上.

(1)、若 $∠ P O N = 45 °$ ，求此红旗图案的面积 $S$ ；（精确到 $1 m^{2}$ ）

(2)、求组成的红旗图案的最大面积.（精确到 $1 m^{2}$ ）

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$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50