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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 4\}, B = \{x |x \geq 2\},$ 则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $(2, 4)$ B、 $[2, 4)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 2]$

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2、已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{x}$ 在点 $(1, - 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 2$ 只有一个公共点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{1, 9\}$ B、 $\{0, 1, 9\}$ C、 $\{- 1, - 9\}$ D、 $\{0, - 1, - 9\}$

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3、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x) < 0$ 的解集．

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1$ ．

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4、已知 $a < 0$ ， $- 1 < b < 0$ ，则（）

A、 $a > a b > a b^{2}$ B、 $a b^{2} > a b > a$ C、 $a b > a > a b^{2}$ D、 $a b > a b^{2} > a$

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5、命题“ $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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6、已知 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，同时 $f^{'} (x) < \frac{1 - f (x)}{x}$ ，对任意 $a > b > 0$ ，则必有（）

A、 $a f (b) + a < b f (a) + b$ B、 $b f (b) - b < a f (a) - a$ C、 $b f (a) - a < a f (b) - b$ D、 $a f (a) + b < b f (b) + a$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ．过右焦点 $F_{2}$ 的直线l交椭圆于点M、N，且 $△ F_{1} M N$ 的周长为16．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、记直线AM、BN的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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8、过点 $P (2, 3)$ 的等轴双曲线的方程为.

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9、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 3\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、关于x的不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x |x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、关于x的不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}\}$

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10、如图，三个圆的内部区域分别代表集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，全集为 $I$ ，则图中阴影部分的区域表示（）

A、 $A \cap B \cap C$ B、 $A \cap C \cap (∁_{I} B)$ C、 $A \cap B \cap (∁_{I} C)$ D、 $B \cap C \cap (∁_{I} A)$

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11、离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 $Φ_{P} = 1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + \cdot \cdot \cdot ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k, k \geq 3)$ 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}$ ， …，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 为多面体M的所有以P为公共点的面．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)、如图，已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C$ ，三棱锥 $P - A B C$ 在顶点C处的离散曲率为 $\frac{1}{3}$ ．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．

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12、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 - x^{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间（只需写出结果即可）；

(2)、求不等式 $f (2 x - 1) \leq f (x)$ 的解集；

(3)、若方程 ${[f (x)]}^{2} - m \cdot f (x) + n = 0$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有3个不等实根，求 $4^{n + 1} - 5 \cdot 2^{m} + \frac{1}{4}$ 的最小值．

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}, B C C_{1} B_{1}$ 均为正方形， $A B = B C = 2$ ， $A B ⊥ B C, D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $B C_{1}$ $∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的余弦值.

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14、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(b + a) (\sin ∠ A B C - \sin ∠ B A C) = c (\sin ∠ A B C - \sin C)$ ， BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $A D = \sqrt{7}$ ， BE＝2， $\cos ∠ D P E = \frac{\sqrt{7}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、若二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ 在区间 $(0, 4)$ 上存在零点，则实数m的取值范围是.

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16、经过 $A (3, 4), B (- 1, c)$ 两点的直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2)$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时， $A_{1} P$ $∥$ 平面 $A C D_{1}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = 1$ 时， $△ P B D$ 的面积为定值 D、当 $λ + μ = 1$ 时，直线 $A_{1} D$ 与 $D_{1} P$ 所成角的范围为 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

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18、若三条直线 $l_{1} : 2 x - y + 1 = 0, l_{2} : x + y - 1 = 0, l_{3} : 2 x + a y + a - 2 = 0$ 可以围成一个三角形，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、3

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19、已知函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} - \sin x}{x^{2} + 1}$ ， $g (x) = a x + 1 (a \neq 0)$ ，若 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 图象存在3个交点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{3}{5}, P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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