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相关试卷

1、已知 $P (x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $C : x^{3} + y^{3} = y - x$ 上的一点，则下列选项中正确的是（）

A、曲线 $C$ 的图象关于原点对称 B、对任意 $x_{0} \in R$ ，直线 $x = x_{0}$ 与曲线 $C$ 有唯一交点 $P$ C、对任意 $y_{0} \in [- 1, 1]$ ，恒有 $|x_{0}| < \frac{1}{2}$ D、曲线 $C$ 在 $- 1 \leq y \leq 1$ 的部分与 $y$ 轴围成图形的面积小于 $\frac{π}{4}$

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l : x = t y + 1$ ，若 $C$ 与 $l$ 交于 $A, B$ 两点， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $p = 2$ B、 $|A F| = 3$ C、 $t = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$ D、线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{5}{4}$

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3、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x - {(sin ω x - cos ω x)}^{2} (ω > 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称，且 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4、已知集合 $A = {(x, y) | y = | x |}, B = \{(x, y) | y = \frac{1}{| x |}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${(- 1, 1), (1, 1)}$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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5、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5}{12} π$ 对称 C、函数 $f (x - \frac{2 π}{3})$ 是偶函数 D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象

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6、《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ， $n = 1, 2, 3$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $P_{n}, Q_{n}$ ，将极点 $P_{1}, Q_{1}$ ，分别与正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的顶点连线，取其中点记为 $E_{m}$ ， $F_{m}$ ， $m = 1, 2, 3, 4$ ，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥 $A_{1} - P_{1} E_{1} P_{2} E_{2}$ 与 $A_{2} - P_{2} E_{1} P_{3} F_{1}$

(1)、求异面直线 $P_{1} A_{2}$ 与 $Q_{1} B_{2}$ 成角余弦值；

(2)、求平面 $P_{1} A_{1} E_{1}$ 与平面 $A_{1} E_{2} P_{2}$ 的夹角正弦值；

(3)、求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

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7、从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计家庭消费总支出的第75百分位数．

(3)、从 $［ 60, 70 ）$ 和 $［ 80, 90 ）$ 两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率．

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8、对于任意实数 $x$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.1] = 1$ ， $[- 1.2] = - 2$ ，定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = [2 x] + [3 x]$ ，若 $A = {y | y = f (x)$ ， $0 \leq x \leq 1}$ ，则 $A$ 中所有元素的和为．

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9、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)、求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)、求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第1次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

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10、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (m + 1, m, - 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 2, 1, 4)$ ，且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $- 10$ C、 $10$ D、 $\frac{10}{3}$

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11、判断下列各组直线是否平行，并说明理由．

(1)、 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3), B (- 4, 0)$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (- 3, 1), N (- 2, 2)$ ；

(2)、 $l_{1}$ 的斜率为 $- 10$ ， $l_{2}$ 经过点 $A (10, 2), B (20, 3)$ .

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、四面体 $B D C_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、平面 $B D A_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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13、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ”是“向量 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、设集合 $M = {x ∣ x \geq 1}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $2 \subseteq M$ B、 $2 \notin M$ C、 ${2} \subseteq M$ D、 ${1, 2} \in M$

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15、已知矩形 $A B C D$ 的长为2，宽为1.（如图所示）

(1)、若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面 $C^{'} B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，分别求 $C^{'}$ 到AB和AD的距离.

(2)、在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 $△ A M N$ 翻折成 $△ A^{'} M N$ ，使平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $A B C D$ .又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形 $G H C B$ 向上翻折，使C与 $A^{'}$ 重合，求线段NG的长.

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16、已知 $\frac{1 - \cos θ}{\sin θ} = 2$ ，则 $\tan θ$ 等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、如图①所示，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点M是边CD的中点，将 $△ A D M$ 沿AM翻折到 $△ P A M$ ，连接PB，PC，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ， N为PB中点．

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $P A M$ ；

(2)、若平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线BC与平面 $P M B$ 所成角的大小；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为θ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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18、给定函数 $f (x) = x^{2} - 2, g (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ ，用 $M (x)$ 表示函数 $f (x), g (x)$ 中的较大者，即 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{7 - \sqrt{17}}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

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19、已知关于x的不等式： $a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 < 0$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，解此不等式；

(2)、当 $a > 0$ 时，解此不等式．

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20、若函数 $f (x)$ 满足：对任意正数 $s, t$ ，都有 $f (s) + f (t) < f (s + t)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“H函数”．

(1)、试判断函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ 与 $f_{2} (x) = ln (x + 1)$ 是否为“H函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = 3^{x} + x - 3 a$ 是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 为“H函数”， $f (1) = 1$ ，对任意正数s、t，都有 $f (s) > 0$ ， $f (t) > 0$ ，证明：对任意 $x \in (2^{k}, 2^{k + 1}) (k \in N)$ ，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) > \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

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