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相关试卷

1、已知 $a, b, c \in R$ ，有四个推理：① $a > b \Rightarrow a m^{2} > b m^{2}$ ；② $\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \Rightarrow a > b$ ；③ $a > b, a b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；④ $a^{2} > b^{2}, a b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，其中正确的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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2、命题：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 2 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} - x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} - x + 2 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 2 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 2 < 0$

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3、已知点 $A (1, 0, 0), B (1, 0, 2), C (1, 1, 1)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4$

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4、在空间四边形 $P A B C$ 中， $\vec{P B} - \vec{A B} - \vec{C A} =$ （）

A、 $\vec{A P}$ B、 $\vec{P C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A C}$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x, x > 0 \\ x + 1, x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (a) + f (1) = 0$ ，则实数 $a$ 的值等于（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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6、直线 $l_{1}$ ： $a x - y + 2025 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(3 a - 2) x + a y - 2 a = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、 $\frac{1}{3}$ 或1

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7、已知一组数据：2，5，7， $x$ ， 10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（）

A、7 B、6.5 C、6 D、5.5

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8、设正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 1$ ，若不等式 $a + b \geq - x^{2} + 4 x + 18 - m$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 3$ B、 $m \leq 3$ C、 $m \leq 6$ D、 $m \geq 6$

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9、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最小值为（）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $14$ D、 $16$

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10、已知函数 $f (x) = a x - ln (x + a) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a - \frac{1}{a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{n^{2}}{n^{2} a_{n} + 1}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．证明： $S_{2 n} > 2 n - 1$ ．

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11、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{6}{x} - 6, x > 0 \end{matrix}$ 则 $f (f (- 2)) =$ ．

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12、（多选）下列说法中不正确的是（）

A、集合 $\{x |x < 1, x \in N\}$ 为无限集 B、方程 ${(x - 1)}^{2} (x - 2) = 0$ 的解构成的集合的所有子集共4个 C、 $\{(x, y) |x + y = 1\} = \{y |x - y = - 1\}$ D、 $\{y |y = 2 n, n \in Z\} \subseteq \{x |x = 4 k, k \in Z\}$

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13、已知 $- 1 \leq x + y \leq 1$ ， $1 \leq x - y \leq 3$ ，则 $3 x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq 3 x - 2 y \leq 8$ B、 $3 \leq 3 x - 2 y \leq 8$ C、 $2 \leq 3 x - 2 y \leq 7$ D、 $5 \leq 3 x - 2 y \leq 10$

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14、已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2}, 2)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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15、如图，正四面体 $A - B C D$ 的长为1， $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A B} =$ ．

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16、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是60°，线段 $A B \subset α$ . $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为30°.则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是.

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17、已知 $1 < a < 3, - 5 < b < - 2$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a + b$ 的取值范围为 $(- 4, 1)$ B、 $a - b$ 的取值范围为 $(3, 8)$ C、 $a b$ 的取值范围为 $(- 15, - 2)$ D、 $\frac{a}{b}$ 取值范围为 $(- \frac{3}{5}, - \frac{1}{2})$

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18、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (\frac{a}{2} + \frac{2}{a}) x + 1 < 0$ 的解集中恰有3个整数，则正数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |\frac{1}{3} \leq a < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{a |4 < a \leq 6\}$ C、 $\{a |\frac{1}{2} \leq a < \frac{2}{3} 或 6 < a \leq 8\}$ D、 $\{a |\frac{1}{2} \leq a < \frac{3}{4} 或 9 < a \leq 12\}$

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19、同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 $a$ ， $b \in Z$ ， $m \in N^{*}$ 且 $m > 1$ ．若 $m |(a - b)$ 则称 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (mod m)$ （“|”为整除符号）．例如 $26 \equiv 2 (mod 12)$

(1)、解同余方程 $x^{2} - x \equiv 0 (mod 3)$ ；

(2)、设（1）中方程的所有正根构成数列 $\{a_{n}\}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ．
①若 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2024}$ ；
②若 $c_{n} = \tan a_{2 n + 1} \cdot \tan a_{2 n - 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |4^{x} - 1|, x < \frac{1}{2} \\ |\log_{2} x|, x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，若存在实数 $m$ 使得方程 $f (x) = m$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则（）

A、 $f (x_{3} x_{4}) = 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0$ C、 $x_{2} + f (x_{3}) > 1$ D、 $x_{3} + f (x_{2}) > 1$

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