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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(5, 0)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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2、设有一组圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - k)}^{2} = k^{2} (k > 0)$ ，若圆 $C_{k}$ 上恰有两点到原点的距离为1，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1)$ C、 $(0, \sqrt{2} + 1)$ D、 $(\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2)$

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3、已知直线 $l_{1} : y = k x + 2 k + 4$ 与 $l_{2}$ 关于原点对称，则 $l_{2}$ 恒过点（）

A、 $(2, - 4)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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4、已知直线 $l$ 与直线 $x - y + 5 = 0$ 平行，且与椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的交点为 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $y_{1} + y_{2} =$ （）

A、 $- 4 (x_{1} + x_{2})$ B、 $4 (x_{1} + x_{2})$ C、 $- \frac{1}{4} (x_{1} + x_{2})$ D、 $\frac{1}{4} (x_{1} + x_{2})$

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5、已知直线 $l_{1} : x + (2 - k) y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{11} = 1$ 的右支上一点 $P$ 到右焦点的距离为9，则 $P$ 到左焦点的距离为（）

A、3 B、12 C、15 D、3或15

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7、圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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8、抛物线 $x^{2} = 120 y$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, - 30)$ B、 $(0, 30)$ C、 $(- 30, 0)$ D、 $(30, 0)$

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值数列”．已知数列 $\{b_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值数列”，且 $2 b_{1} + 4 b_{2} + 8 b_{3} + \dots + 2^{n} b_{n} = n^{2} + n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{7} = - \frac{23}{64}$ B、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{n}$ 有最大值，无最小值 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中没有最大项 D、若对任意 $n \in N *$ ， $m^{2} - \frac{5}{4} m - S_{n} \geq 0$ 成立，则 $m \leq - 1$ 或 $m \geq \frac{9}{4}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6$ ， $D$ 为线段 $A C$ 上一点，则下列判断正确的是（）

A、 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的2倍 C、若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $B D : A C = \sqrt{79} : 10$ D、若 $∠ A B D = ∠ C B D$ ，则 $B D : A C = 3 \sqrt{2} : 5$

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11、已知抛物线 $W : x^{2} = 4 y, A, B, C$ 是 $W$ 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ，则称三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 为抛物线的外切三角形．

(1)、当点 $C$ 的坐标为 $(2, 1), B$ 为坐标原点，且 $B A = B C$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标；

(2)、设外切三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的垂心为 $H$ ，试判断 $H$ 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；

(3)、证明：三角形 $A B C$ 与外切三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积之比为定值．

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12、已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ ， $x \in R$ ， $c$ 是常数.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{2}{3}, + \infty)$ 存在单调递减区间，求 $c$ 的取值范围.

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处有极大值，求 $c$ 的值.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(1 - tan A) (1 - tan B) = 2$ ， $b = 3$ ， $a = \sqrt{2}$

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、延长 $A B$ 到 $D$ 点，使得 $∠ C D B = ∠ A C B$ ，求 $B D$ 的长度

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14、设直线 $l$ 与球 $O$ 有且只有一个公共点，从直线 $l$ 出发的两个半平面 $α$ ， $β$ 截球 $O$ 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则球 $O$ 的半径为.

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过 $A E$ 的截面与棱 $B B_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 分别交于点 $F$ 、 $G$ ，则下列说法中正确的是（）

A、存在点 $F$ ，使得 $A_{1} F ⊥ A E$ B、线段 $C_{1} G$ 长度的取值范围是 $[0, 1]$ C、当点 $F$ 与点 $B$ 重合时，四棱锥 $C - A F E G$ 的体积为 $2$ D、设截面 $F E G A$ 、 $△ A E G$ 、 $△ A E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $\frac{S_{1}^{2}}{S_{2} S_{3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1} = - 1$ 且 $\forall n \in N^{+}$ ， $a_{n} > a_{n + 2}$ ，则（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n} > a_{n + 1}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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17、设 $A$ ， $B$ 为一个随机试验中的两个事件，且 $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B} | A) = \frac{5}{6}$ ， $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ B、 $P (A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{3}{4}$ D、 $P (A B) = \frac{1}{6}$

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18、我国古代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致.先“立天元一为……”，相当于“设 $x$ 为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过合并同类项得到方程
$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$ .设 $f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$
若 $f (2) = 5 \cdot 2^{n + 1} - 3 n - 8$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{3 n^{2} + 4 n}{2}$ B、 $\frac{3 n^{2} + 11 n + 4}{2}$ C、 $\frac{3 n^{2} + 5 n + 4}{2}$ D、 $\frac{3 n^{2} + 7 n + 4}{2}$

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{6}{7}, \frac{7}{8})$ B、 $(\frac{6}{7}, \frac{13}{15})$ C、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{7}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{13}{15}, + \infty)$

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20、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 c$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{2}}{4} x$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 2 c$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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