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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的定义域和值域都是 $[- 1, 0]$ ，则 $a + b =$ .

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2、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是．

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3、已知函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $f (x)$ 必过的定点 $P$ 的坐标为．

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4、不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x y) = y f (x) + x f (y)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x - 2, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = k$ 的图象有3个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 5, - 2]$ D、 $(- 2, - 1]$

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，且 $f (x) \leq 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{4}{3} < a < 0$ B、 $- 4 \leq a < 0$ C、 $- \frac{4}{3} \leq a < 0$ D、 $- 4 < a < 0$

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7、下列命题是假命题的是（）

A、每个正方形都是平行四边形 B、 $\forall x \in$ ${y |y$ 是无理数 $}$ ， $x^{3}$ 是无理数 C、 $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$ D、函数 $y = \frac{1}{x - 1}$ 在 $[2, 3]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$

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8、已知 $a = 2^{\frac{2}{3}}, b = 4^{\frac{1}{5}}, c = 3^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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9、托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ，集合 $B = \{- 1, 1, 3\}$ ，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 2 x - 1$

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10、命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是（）

A、所有不能被4整除的整数都是偶数 B、所有能被4整除的整数都不是偶数 C、存在一个不能被4整除的整数是偶数 D、存在一个能被4整除的整数不是偶数

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11、已知双曲线 $x^{2} - m y^{2} = 1$ 的离心率为2，则 $m =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}, x_{11}, a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}, x_{22}$ ，使 $a_{2}, x_{21}, x_{21}, a_{3}$ 成等差数列；依次类推，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}$ ，使 $a_{n}, x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}, a_{n + 1}$ 成等差数列.
（i）若 $T_{n} = x_{11} + x_{21} + x_{22} + \dots + x_{n 1} + x_{n 2} + \dots + x_{n n}$ ，求 $T_{n}$ ；
（ii）对于（i）中的 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n, p (n < p)$ ，使得 $T_{m} = a_{n} + a_{p}$ 成立？若存在，求出所有的正整数对 $(m, n, p)$ ；若不存在，说明理由.

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13、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} - 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) = ln x - e^{x} - x^{2} + x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，其准线与 $y$ 轴相交于点 $M$ .动点 $P$ 满足直线 $P F, P M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $Γ$ 相交于 $C, D$ 两点，若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ .求 $k$ 的值.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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16、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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17、小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则小明通过测试的概率为.

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18、已知 ${log}_{4} a + 2 {log}_{a} 2 = 2$ ，则 $a =$ .

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19、已知集合 $A = {- 2, 0, 2, a}, B = {x ∣ |x - 1| \leq 3}, A \cap B = A$ ，写出满足条件的整数 $a$ 的一个值.

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20、若 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，对任意的 $x, y \in R$ ，恒有 $2 f (x) f (y) - f (x + y) = f (x - y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (\frac{x}{2}) + f (0) \geq 0$ C、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 D、若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2025} f (n) = - 1$

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