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相关试卷

1、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5), B (0, - 2, - 2), C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l$ $∥$ $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4), \vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ ， $A$ ， $B$ 都在椭圆 $E$ 上，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，且 $λ + μ \geq 4$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(0, \frac{1}{3}]$

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3、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 面积最小时，直线 $A B$ 的方程为（）.

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $M (4, 3)$ ，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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5、已知函数 $f (x) = a x^{2} + a x + 2$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若对于任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) > - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a < 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < (1 - a) x + 4$ .

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6、某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为 $S_{1}$ ；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为 $S_{2}$ ．
（其中 $y > x > 4, b > a > 4$ ）

(1)、试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；

(2)、若a，b，x，y同时满足关系 $y = 2 x - 2 \sqrt{x - 4}, b = 2 a + \frac{4}{a - 4}$ ，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值 $S =$ 花费较大值-花费较小值）．

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7、命题 $p$ ： $\forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 是.

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8、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形，且 $A B = 2$ ， $P A ⊥ P B$ .四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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9、已知直线 $l_{1} : x + y - 1 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y = 0 (a > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ C A B = 30^{\circ}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若点 $P$ 为直线 $l_{2} : x + y + 2 = 0$ 上的动点，求 $△ P A B$ 的面积.

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10、设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 4$ B、 $|M N| = \frac{16}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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11、若函数 $f (x)$ 的定义域与值域均为 $[m, n]$ ，则称 $f (x)$ 为“闭区间同域函数”，称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“同域闭区间”．

(1)、判断定义在 $[1, 2]$ 上的函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ 是否是“闭区间同域函数”，并说明理由；

(2)、若 $[2, 4]$ 是“闭区间同域函数” $g (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的“同域闭区间”，求 $a$ ， $b$ ；

(3)、若 $[m, n]$ 是“闭区间同域函数” $h (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 的“同域闭区间”，求 $m$ ， $n$ ．

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12、某城市出租车的计费标准如下：乘客上车后，行驶 $3km$ 内（包括 $3km$ ）收费都是10元；超过 $3km$ 但不超过 $15km$ 的部分，按照2元/ $km$ 收费；超过 $15km$ 的部分，按照3元/ $km$ 收费．

(1)、求乘客付费金额y（单位：元）与行驶路程x（单位： $km$ ）之间的函数关系式，其中 $x > 0$ ．

(2)、若甲乘坐出租车前往 $20km$ 的A地，当出租车行驶了 $15km$ 后，甲是继续乘坐这辆出租车，还是中途换乘一辆出租车到达A地的付款金额更少？并说明理由．

(3)、若乙乘坐出租车需要行驶的路程为x（单位： $km$ ），且 $15 < x < 30$ ，请以付款金额为标准，判断乙是否需要在行驶 $15km$ 后换乘．

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13、已知函数 $f (x) = \ln (x + 8) - \ln (- x + 8)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(3)、求不等式 $f (x) > \ln 2$ 的解集．

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14、已知集合 $A = {x ∣ x - 2 \geq 0}, B = \{x ∣ x^{2} - 5 x - 6 > 0\}, C = {x ∣ m \leq x \leq 2 m - 1}, P = A \cup (∁_{R} B), Q = A \cap (∁_{R} B)$ ．

(1)、求P，Q；

(2)、若 $Q \cap C = \emptyset$ ，求m的取值范围．

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15、

(1)、若 $\frac{{(\sqrt{m})}^{3}}{m^{\frac{7}{2}}} = m^{α}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、计算： $5^{2 \log_{5} 3} + \log_{6} 2 + \log_{6} 18 + \ln e$ ．

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16、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |2^{x} - 1| - a, x \leq 2, \\ x^{2} - 6 x + 11 - a, x > 2 \end{matrix}$ 的零点最多有个，此时 $a$ 的取值范围为．

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17、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ ，则关于 $x$ 不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为.

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18、集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} \leq 2\}$ 的子集个数为．

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19、已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线， $f (x)$ 的定义域为 $[a, b], \forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，下列选项可判断 $f (x)$ 为单调函数的是（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、 $x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2})$ C、 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 1$ D、 $f (x) = \min {f (a), f (b)}$

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20、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 3 x + 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 是增函数 C、存在实数a，使得 $f (x)$ 为偶函数 D、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则a的取值范围为 $[0, \frac{9}{8}]$

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