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相关试卷

1、已知集合 $A$ 中含有三个元素 $x, y, z$ ，同时满足① $x < y < z$ ；② $x + y > z$ ；③ $x + y + z$ 为偶数，那么称集合 $A$ 具有性质 $P$ .已知集合 $S_{n} = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\}$ $(n \in N^{*}, n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $B$ ，若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a, b, c$ ，使得 $a + b, b + c, c + a$ 均属于 $B$ ，则称集合 $B$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

(1)、试判断集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若集合 $B = \{3, 4, a\}$ 具有性质 $P$ ，证明：集合 $B$ 是集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；

(3)、证明：对于 $S_{n}$ 的非空子集 $M$ ，集合 $M$ 具有性质 $P$ 的充要条件是集合 $M$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

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2、两社区 $A$ 和 $B$ 相距2km，现计划在两社区外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区 $A$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $A$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区 $B$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $B$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为 $K$ ，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为对社区 $A$ 和社区 $B$ 的噪音影响度之和.记 $C$ 点到社区 $A$ 的距离为 $x km$ ，建在 $C$ 处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为 $y$ .统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为0.05.

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的三等分点（靠近 $C$ 点）．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{C P} = λ \vec{C A}$ ，求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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4、设函数 $f (x) = \lg [(2 x - 3) (x - \frac{1}{2})]$ 的定义域为集合A，函数 $g (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 a x - 3 a^{2}}$ 的定义域为集合B (其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ) .
(1)当 $a = 1$ 时，求集合 $A \cap B$ ；
(2)若 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围.

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5、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $2 \vec{a} \cdot \vec{b} - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 0$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是.

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6、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}, g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ，总 $\exists x_{2} \in [1, 6]$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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7、已知函数 $f (x) = - x + 6$ ， $g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ ，若 $h (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则 $h (x)$ 的最大值为.

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8、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b - 2 a + 4 a \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、角C可以为锐角 B、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = 0$ C、 $\tan B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $3 \tan A + \tan C = 0$

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9、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 6$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 2$ ，则 $|\vec{a} - λ \vec{b}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、4

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10、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), cos (α - β) = \frac{5}{6}, tan α \cdot tan β = 4$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{|x|} - 4}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\ln a > \ln b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设复数 $z$ 满足 $z (1 + i^{2023}) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 为偶函数.当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - \log_{2} (x + 1)$ .

(1)、求 $f (- 3)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若 $x \in [- 3, 1]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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15、 $2024$ 年 $10$ 月 $29$ 日，小米 $SU 7 Ultra$ 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为 $100$ 台．每生产 $x$ 台，年度总利润为 $S (x)$ （单位；万元），且 $S (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 140 x - 200, 0 < x \leq 40 \\ - x - \frac{3600}{x} + 1700, 40 < x \leq 100 \end{array}$ .

(1)、当产能不超过 $40$ 台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；

(2)、当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？

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16、计算下列各式的值：

(1)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) + \log_{3} \sqrt[4]{27} - 2^{\log_{2} 5}$

(2)、设 $\log_{3} 2 = a$ ， $\log_{3} 5 = b$ ，用a，b表示 $\log_{15} 20$ ；

(3)、已知 $9^{m} = 8^{n} = 24$ ，试求 $\frac{1}{2 m} + \frac{1}{n}$ 的值.

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17、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = a^{x}$ 互为反函数，且 $f (x)$ 的图像过点 $(10, 1)$ ，则 $f (100) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $3$

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18、若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 为“等峰函数”．

(1)、证明函数 $y = 2 sin x cos x - \sqrt{3} cos 2 x, x \in R$ 与 $y = x - \frac{sinπ x}{π}, x \in [0, 2]$ 是“等峰函数”；

(2)、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x^{a}}$ 与 $g (x) = \frac{x^{a}}{e^{x}} (x > 0)$ 为“等峰函数”．
①求实数a的值；
②判断命题：“ $\exists x_{0}, x_{1}, x_{2} \in R, f (x_{1}) = f (x_{0}) = g (x_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = x_{0}^{2}$ ”的真假，并说明理由．

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19、甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后 $(n \in N^{*})$ ，记甲袋中的白球数为 $X_{n}$ ，甲袋中恰有一个白球的概率为 $p_{n}$

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ 的解析式；

(3)、求 $E (X_{n})$ ．

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20、已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{5}{4}} (- x^{2} + 2 λ x + 1)$ 的定义域为 $D$ ， $g (x) = \frac{x - λ}{x^{2} + 1}$

(1)、若 $λ = \frac{3}{4}$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $D = (m, n)$ ，且 ${[g (m) - g (n)]}^{2} \leq 10$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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