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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A_{1} B = A_{1} A = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 中点，求直线 $C E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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2、春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本 $g (x)$ 万元，且 $g (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 20 x + 100, 0 \leq x < 40, 100 x \in N \\ \frac{165}{2} x + \frac{9000}{x} - 1150, 40 \leq x \leq 100, 100 x \in N \end{array}$ ，该游玩项目的每张门票售价为80元．

(1)、求2025年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 3$ 恰好有六个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x} + 1, x > 1. \\ (3 - 2 a) x + 2, x \leq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数．则实数a的取值范围为．

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5、幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数m的值为.

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6、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ .已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3 x + 4} + \frac{8}{9}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是.

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7、第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(c - b) sin C = (a + b) (sin A - sin B)$ ，则 $A =$ .

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9、某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．

(1)、假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；

(2)、假设代仕同学有 $n$ 点积分，该同学用完 $n$ 点积分的方式种数记为 $a_{n}$ ，求 $a_{n}$ 表达式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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10、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x < 0$ 时， $f (x) < a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有两个不相等的正实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\sqrt{3} - 1 < x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < \frac{b + 2 b e + 4 e^{2}}{2 e^{2}}$ ．

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11、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $Q$ ，且由点 $P$ ， $Q$ ， $A$ ， $B$ 组成的以 $P A$ 为一边的四边形的面积为 $\frac{9}{2}$ ，求 $l$ 的方程．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ， $△ P B D$ 为等边三角形，且平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、作出点 $B$ 在平面 $P A D$ 的射影 $E$ ，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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13、已知 $△ A B C$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} - a b) tan C$ ．

(1)、证明： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $a = \frac{6}{5}$ ， $C D = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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14、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = C D = \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 3$ ， $B D = 2$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且 $A C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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15、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，若直线 $l : a x + b y + c = 0$ 与曲线 $y = e^{x - 1} + ln x - 3$ 相切，则 $\frac{b + c}{a} =$ ．

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16、写出一个半径为 $\sqrt{13}$ ，且与直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 相切于点 $(3, 4)$ 的圆的方程：．

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17、在平面直角坐标系中，已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $O$ 为原点， $P$ 为平面内的动点，且 $P H$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $H$ ，则满足下列条件的动点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| + {|P O|}^{2} = 41$ C、 $\frac{|P H|}{|P F_{1}| + |P F_{2}|} = \frac{5}{6}$ D、 $\frac{|P H|}{||P F_{1}| - |P F_{2}||} = \frac{5}{6}$

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18、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点（包括端点），点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P ⊥ A C_{1}$ B、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P / / A C_{1}$ C、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，且 $M P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $M P + P A_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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19、已知 $x > y > 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x + y}{\sqrt{x y}} > 2$ C、 ${0.2}^{x} > {0.2}^{y}$ D、 $\frac{1}{ln x} < \frac{1}{ln y}$

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20、定义 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x$ 为 $f (x)$ 的“坚定点”，已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A、 $f (x) = a sin x$ B、 $f (x) = ln a x$ C、 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + a x + a$ D、 $f (x) = e^{a x}$

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