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1、记圆锥 $C C_{1}$ 的侧面是曲面 $α$ ，且曲面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，其中 $l$ 是圆锥 $C C_{1}$ 的一条母线，则称平面 $β$ 是“ $Π$ 平面”，“ $Π$ 平面”上不与 $l$ 平行且不与 $l$ 重合的直线称为“圆锥的斜切直线”．已知直线 $a$ 是圆锥 $C C_{1}$ 的“斜切直线”，且直线 $a$ 经过圆锥 $C C_{1}$ 某条母线的中点，若圆锥 $C C_{1}$ 的体积是 $24 \sqrt{3} π$ ，底面面积是 $36 π$ ，且圆锥底面中心 $C$ 到直线 $a$ 的距离是 $\sqrt{10}$ ，则直线 $a$ 与圆锥底面夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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2、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 上，且点 $M$ ， $N$ 关于原点 $O$ 对称，当 $2 |M F_{2}| = |N F_{2}|$ 时， $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ ，当点 $M$ 在椭圆 $C$ 上运动时，四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 面积的最大值是 $2 \sqrt{14}$ ，则椭圆 $C$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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3、在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{A_{1} D_{1}}$ ，且 $A A_{1} = A B = B C = 2 A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}} (λ \in [0, 1])$ ，则直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$

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4、已知 $A (0, 1, 1)$ ， $B (1, 0, 1)$ ， $C (1, 1, 0)$ ， $D (3, 0, 2)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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5、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 9$ ， $S_{4} = 32$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、已知双曲线的方程是 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，它的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}, M$ 是双曲线上的一点，且 $|M F_{1}| = 7$ ，则 $|M F_{2}|$ 的值为（）

A、1 B、13 C、1或13 D、4或10

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7、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 32$ ，则以下选项中与圆 $C_{1}$ 内切的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$

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8、若直线l的一个方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，求直线的倾斜角（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，则该四棱锥的体积为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、4 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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11、如图，已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与过其焦点的圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点，直线 $A D$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，直线 $C E$ 与双曲线 $C_{1}$ 交于点 $F$ ，记直线 $A C$ ， $A F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = 8$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为．

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12、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{n + 1} - a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{k} = 211$ ，则正整数 $k$ 的最大值为．

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13、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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14、给定正整数 $N \geq 3$ ，已知项数为 $m$ 且无重复项的数对序列 $A : (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{m}, y_{m})$ 满足如下三个性质：
① $x_{i}, y_{i} \in \{1, 2, \dots, N\}$ ，且 $x_{i} \neq y_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ；
② $x_{i + 1} = y_{i} (i = 1, 2, \dots, m - 1)$ ；
③ $(p, q)$ 与 $(q, p)$ 不同时在数对序列A中．

(1)、当 $N = 3, m = 3$ 时，写出所有满足 $x_{1} = 1$ 的数对序列A；

(2)、当 $N = 6$ 时，证明： $m \leq 13$ ；

(3)、当 $N$ 为奇数时，记 $m$ 的最大值为 $T (N)$ ，求 $T (N)$ ．

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15、已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $P B$ 交直线 $x = 4$ 于点 $T$ ，连接 $A T$ 交椭圆 $C$ 于点 $Q$ ，直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{A P}$ ， $k_{A Q}$ .
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）设直线 $P Q : x = t y + n$ ，证明：直线 $P Q$ 过定点.

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16、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $|A B| = |A C|$ ，点 $B (- 1, 1)$ ，点 $C (7, 5)$ ，过其“欧拉线”上一点 $P$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N|$ 的最小值为．

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17、焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为 $\frac{3}{5}$ 的椭圆的标准方程是．

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18、已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且 $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2π}{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点M在 $B C$ 上，当直线 $S M$ 与平面 $A B C$ 所成的角最大时， $A M =$ ．

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19、抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点，焦点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上. $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F$ 比 $P$ 到 $y$ 轴的距离多 $1$ ，则抛物线 $C$ 的标准方程为.

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20、在平面直角坐标系中，已知两定点 $A (- 4, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 $2 {|M N|}^{2} = |A N| \cdot |N B|$ ．

(1)、求动点M的轨迹 $Γ$ ；

(2)、设过 $P (0, 1)$ 的直线交曲线 $Γ$ 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{0}$ ，且满足 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{2}{k_{0}}$ ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

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