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相关试卷

1、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为6，下列结论正确的是（）

A、该正四面体的高为 $2 \sqrt{6}$ B、该正四面体的高为 $\sqrt{6}$ C、该正四面体两条高的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、该正四面体两条高的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、已知空间内三点 $A (3, 2, 0)$ ， $B (2, 1, 3)$ ， $C (0, 2, - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{A B}| = \sqrt{11}$ B、 $A B ⊥ A C$ C、 $\cos ∠ A B C = \frac{\sqrt{11}}{21}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{110}}{2}$

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3、如图，正方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，G，E分别是 $C C_{1}$ ， $A B$ 的中点， $P$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 内一动点， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，若直线 $A P$ 与平面 $E F G$ 没有公共点，则线段 $A P$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{35}}{5}$

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4、已知A，B分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（）

A、 $\frac{b}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} b}{2}$ C、 $\frac{3 b}{5}$ D、 $\frac{4 b}{5}$

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5、如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为 $\frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12}$ ，则该正二十面体的内切球的半径为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{12}$

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6、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，点A，B分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ 于点C， $B D ⊥ l$ 于点D．若 $A C = 5$ ， $B D = 6$ ， $A B = 2 \sqrt{15}$ ．则 $C D =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{30}$

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7、直线 $l : y = x$ 与圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{14}$

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8、已知 $α$ ， $β$ 是两个互相平行的平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的三条直线，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则（）

A、 $l ⊥ n$ B、 $m ⊥ n$ C、 $l / / n$ D、 $m // n$

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9、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + 2 \vec{c}$ 构成空间另一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{c}$

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10、已知直线 $x + y + m - 1 = 0$ 与直线 $3 x + (m + 2) y + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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11、如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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12、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $O P$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $|P M| \cdot |P N| =$ .

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13、已知 $1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $5$ 个数的平均数为 $3$ ，方差为 $2$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $4$ 个数的方差为．

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14、两平行直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y + a = 0$ 的距离为.

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15、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点O是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}})$ B、 $|\vec{A O}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $A O ⊥ B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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16、（多选）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $4$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $M (m, 2)$ 是线段 $A B$ 的中点，则（）

A、 $p = 4$ B、抛物线的方程为 $y^{2} = 16 x$ C、直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x - 4$ D、 $|A B| = 10$

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17、一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有 $1 \sim 9$ 这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件 $A$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件 $B$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件 $C$ ．则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $B$ 是 $C$ 的下顶点，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $A$ ，且满足 $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知 $M (- 2, 0)$ ，圆 $C :$ $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ ，动圆 $P$ 经过 $M$ 点且与圆 $C$ 相切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1 (x \geq \sqrt{3})$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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20、安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为 $1, 2, 3$ 的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到 $3$ 号教室的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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