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相关试卷

1、A， $B$ 两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中 $A$ 获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，若采用“五局三胜制”，则 $A$ 选手获胜的概率为.

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2、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别为棱 $A D, A B, B C$ 的中点，点 $P$ 为线段 $D_{1} F$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $F C C_{1} ⊥$ 平面 $B E P$ B、直线 $B E$ 与 $G C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ C、平面 $B E D_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $P$ 到直线 $C D$ 的距离的最小值为 $1$

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3、某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（）

A、考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B、考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C、分数在区间 $[60, 70)$ 内的频率为0.2 D、用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间 $[70, 80)$ 应抽取30人

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4、等腰直角 $Δ O A B$ 内接于抛物线，其中 $O$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点， $O A ⊥ O B$ ， $Δ O A B$ 的面积为16， $F$ 为 $C$ 的焦点， $M$ 为 $C$ 上的动点，则 $\frac{|O M|}{|M F|}$ 的最大值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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5、以下四个命题表述正确的是（）
①若点 $A (1, 2)$ ，圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则点A在圆上
②圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $4 x - 3 y + 3 = 0$ 的距离为2
③圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0$ 外切
④两圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 的公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y + 6 = 0$

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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6、下列命题中正确的是（）

A、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} - \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ D、若直线l的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角为 $120^{\circ}$ ，则直线l与平面 $α$ 所成的角为 $30^{\circ}$

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7、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 $0.8$ ，乙的中靶概率为 $0.9$ ，甲是否击中对乙没有影响，设 $A =$ “甲中靶”， $B =$ “乙中靶”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ ， $A$ 与 $\bar{B}$ ， $\bar{A}$ 与 $B$ ， $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 都相互独立 B、 $A \bar{B}$ 与 $B \bar{A}$ 是对立事件 C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.98$ D、 $P (A B \cup \bar{A} B \cup A \bar{B}) = 0.02$

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8、若 $F$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点，过原点的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\frac{1}{| F A |} - \frac{4}{| F B |}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{5}, \frac{1}{4}]$ B、 $[- \frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$ C、 $(- \frac{1}{4}, 0]$ D、 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{5}]$

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9、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的公切线 $P Q$ （ $P$ 是 $P Q$ 与抛物线的切点），与抛物线的准线交于 $Q$ ， $F$ 为抛物线的焦点，若 $|P Q| = \sqrt{2} |P F|$ ，则抛物线的方程是（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 6 y$ C、 $x^{2} = 2 \sqrt{2} y$ D、 $x^{2} = 2 \sqrt{3} y$

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10、若直线l的方向向量是 $(1, \sin θ)$ ，则直线l的倾斜角 $α$ 的范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $[0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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11、向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{3}, \frac{5}{6})$ C、 $(2, - 2, 4)$ D、 $(2, - 4, 2)$

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12、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任意直线l由直线上一点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 及直线的一个方向向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ 唯一确定，其标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ．若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，整理成一般式方程为 $a x + b y + c z + d = 0$ ．特殊地，平面xOy的一般式方程为 $z = 0$ ，其法向量为 $(0, 0, 1)$ ．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0, \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 ． \end{array}$

(1)、若集合 $M = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 2 ， 0 \leq y \leq 5 ， 0 \leq z \leq 2\}$ ，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；

(2)、已知点 $Q (3, 2, - 2)$ ，直线 $l_{1} ： \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 1}{2} = z$ ．若 $Q \in$ 平面 $β$ ， $l_{1} \subset β$ ，求 $β$ 的一般式方程；

(3)、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点 $A_{1} (- 3, 4, 1)$ ，平面ABC的方程为 $2 x + y + z - 6 = 0$ ，直线 $A C_{1}$ 的方程为 $x - 2 = y - 3 = \frac{z - 4}{2}$ ，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的方程为 $x + y + t z - \frac{9}{5} = 0$ ．求直线 $A A_{1}$ 与直线BC所成角的余弦值．

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13、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点， $A (0, - 2 \sqrt{3})$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点， $P$ 是椭圆C上的动点， $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 三点不共线，当 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大时，其为等边三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $M$ 为 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ 交直线 $y = 4 \sqrt{3}$ 于点 $D$ ，过点 $O$ 作 $O E ∥ A P$ 交直线 $y = 4 \sqrt{3}$ 于点 $E$ ，证明： $∠ O E F_{1} = ∠ O D F_{1}$ ．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = 2 A B$ ， E为线段PC上一点， $A E ⊥ P D$ ，且该四棱锥的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、求AE的长度；

(2)、求二面角 $P - B E - A$ 的正弦值.

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15、已知直线l： $k x - 2 k + y - 1 = 0$ 恒过点C，且以C为圆心的圆与直线 $3 x + 4 y - 20 = 0$ 相切．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求圆C的标准方程；

(3)、设过点 $D (2, 0)$ 的直线与圆C交于A，B两点，求 $|A B|$ 的最小值．

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16、已知点 $A (- 3, - 1)$ ， $B (- 2, 2)$ ，点C在x轴上，且 $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求斜边上的中线所在直线的方程．

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17、在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， M，N分别为 $E E_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，平面CMN与直线 $D D_{1}$ 交于点G，则 $D_{1} G =$ ；点A到平面CMN的距离为．

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18、已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为 $1.53 \times 10^{8} km$ ， $1.47 \times 10^{8} km$ ，则这个椭圆的离心率为．

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19、与圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$ 都相切的直线有条．

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20、笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线 $C : x^{3} + y^{3} = a x y$ 经过点 $A (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在C上，则下列结论正确的是（）

A、直线 $y = - x$ 与C有3个公共点 B、若点P在第二象限，则 $x_{0} + y_{0} < 0$ C、 $x_{0} + y_{0} > - 1$ D、 $x_{0} + y_{0} \leq 3$

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