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相关试卷

1、设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 的左，右焦点，已知点 $M (0, 2)$ 在椭圆 $Γ_{1}$ 上，点 $N$ 为椭圆 $Γ_{1}$ 上的动点，且 $△ N F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ_{1}$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作斜率为1的直线与椭圆 $Γ_{1}$ 交于 $P, Q$ 两点，求 $△ M P Q$ 的面积.

(3)、黄金分割的比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2}$ ，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆 $Γ_{n} : \frac{x^{2}}{a_{n}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1 (a_{n} > b_{n} > 0)$ 均是“完美椭圆”，其中 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ 便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆 $Γ_{k} : \frac{x^{2}}{a_{k}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{k}^{2}} = 1$ 上任取一点 $A_{k}$ ，以 $A_{k}$ 为切点作椭圆 $Γ_{k}$ 的切线与直线 $l_{k} : x = \frac{a_{k}^{2}}{c_{k}} (a_{k}^{2} = b_{k}^{2} + c_{k}^{2}$ 且 $a_{k + 1} < a_{k})$ 交于点 $B_{k}$ ，以 $A_{k} B_{k}$ 为直径作圆，设此圆恒过椭圆 $Γ_{k + 1}$ 的右顶点 $(a_{k + 1}, 0)$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + \dots \dots + c_{n} < \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$ .

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2、已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，右焦点为 $(\sqrt{7}, 0)$ ，且过点 $(- 4, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (4, 1)$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于点 $M, N$ ，直线 $A N$ 与双曲线 $C$ 交于另一点 $P$ ，设直线 $A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
（i）求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ii）求证：直线 $M P$ 过定点，并求出该定点的坐标．

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3、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D, A B ⊥ B C$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S A = A B = B C = 1, A D = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 的夹角的余弦值.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 15$ 且 $S_{4} = 4 S_{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知线段 $P Q$ 的端点 $P$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，端点 $Q$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，已知直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 1 = 0$ ，请判断直线 $l$ 与曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由.

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6、阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 $\frac{|M Q|}{|M P|} = λ (λ > 0, λ \neq 1)$ ，那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点 $M$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点 $Q$ 为 $x$ 轴上一点， $P (- \frac{1}{2}, 0)$ 且 $λ = 2$ ，若点 $B (1, 1)$ ，则 $2 |M P| + |M B|$ 的最小值为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = - 3 n^{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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8、如图，点P是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当点P在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积不变 B、当点P在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、使直线AP与平面ABCD所成角为 $45^{\circ}$ 的动点P的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、若F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值为 $\sqrt{5}$

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9、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 是椭圆的上顶点， $△ F_{1} A F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $B F_{2}$ 的长为 $\frac{12}{5}$ D、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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10、下列命题中，正确的是（）

A、如果 $A B > 0$ 且 $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限. B、若直线 $l_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + a y - 2 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . C、圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的圆方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ . D、点 $A (x, y)$ 为圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为6.

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11、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线 $E$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}, \vec{F_{2} A} = - \frac{2}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$

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12、直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{5}{12})$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$

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13、在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2, A A^{'} = \sqrt{2}, ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 45^{\circ}$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则 $A C^{'}$ 的长为（）

A、10 B、12 C、 $\sqrt{22}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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14、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，若 $S_{4} = 6, S_{8} = 20$ ，则 $S_{12}$ 为（）

A、42 B、48 C、60 D、72

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15、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，设 $M$ 是双曲线 $E$ 上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $E$ 的左，右焦点，若 $|M F_{1}| = 3$ ，则 $|M F_{2}| =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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16、若直线 $(a + 2) x - y + 1 = 0$ 和直线 $a x - y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = - 2, a_{4} = 128$ ，则公比 $q$ 为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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18、若一条直线的斜率等于 $\sqrt{3}$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B， $A B = 4$ ，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线 $W A$ 交于点E，E的轨迹为曲线T.

(1)、以 $A B$ 所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；

(2)、设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于M，N两点（点M在点N的左侧），记 $E M$ ， $H N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点 $Q (t, 0)$ ，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有 $\vec{Q C} \cdot \vec{Q D} = 0$ 成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

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20、电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占 $\frac{3}{5}$ ，得到以下的2－2列联表：
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
女性市民
合计
500

(1)、根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；

(2)、采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；

(3)、用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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	偏好石墨烯电池电动车	偏好铅酸电池电动车	合计
男性市民	200	100
女性市民
合计			500

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828