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相关试卷

1、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ ，点E是 $C D$ 的中点，将 $△ C B E$ 沿 $B E$ 对折至 $△ P B E$ ，使得 $P A = 4$ ，点F是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ E F$ ；

(2)、求二面角 $A - B F - E$ 的正弦值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \ln x$ .

(1)、证明： $f (x) \geq 1$ ；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - a x (a > 0)$ ，证明：函数 $F (x)$ 有唯一的极值点.

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{\sin A - \sin B}{b + c} = \frac{\sin C}{a + b}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\vec{B D} = 4 \vec{C D}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A D C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $B C$ .

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4、将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为.

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5、已知数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = (2 n - 1) \cos n π$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2025} b_{n} =$ .

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6、曲线 $f (x) = \ln (2 x - 1)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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7、已知抛物线 $C_{1} : y ^{2} = p x (p > 0)$ 和 $C_{2} : y ^{2} = 2 p x$ 的焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，动直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $P (x_{3}, y_{3}), Q (x_{4}, y_{4})$ 两点，其中 $y_{1}, y_{3} > 0 ， y_{2}, y_{4} < 0$ ，且当 $l$ 过点 $F_{2}$ 时， $y_{3} y_{4} = - 4$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $C_{1}$ 的方程为 $y ^{2} = 4 x$ B、已知点 $A (2, \frac{3}{2})$ ，则 $|M A| + |M F_{1}|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$ D、若 $\frac{|M P|}{|N Q|} = 2$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积相等

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1}$ ， $B C ⊥ A B$ ， E，F，G，H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ E G$ B、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线不共点 C、 $A B$ 与平面 $E F H G$ 所成角为 $45 °$ D、设 $B C = 2$ ，则多面体 $E G B_{1} F H C_{1}$ 的体积为1

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9、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $S_{10} < 0$ ， $a_{6} > 0$ .则（）

A、 $a_{5} > 0$ B、 $d > 0$ C、 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为 $11$ D、 $S_{n}$ 最小时， $n = 6$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{|x|}$ ，若方程 $[f (x) - e] [f (x) + e + a] = 0$ 恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- \infty, - 2 e)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{e})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$

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11、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过坐标原点的直线与C交于A，B两点， $F_{2} A = 2 F_{1} A$ ， $△ A B F_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A F_{2} B$ 为钝角， $|A F_{2}| - |A F_{1}| = 4$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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12、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ，若图象上的点 $(- \frac{π}{10}, 0)$ 与之相邻的一条对称轴为直线 $x = \frac{2}{5} π$ ，则 $φ$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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13、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ ，则 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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14、已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 $\sqrt{3}$ ，则正四棱锥的体积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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16、 $\frac{1 - i}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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17、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $M = \{1, 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2, 5\}$ D、 $\{2\}$

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18、“ $x^{2} > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，经研究可将其推广为：函数 $y = f (x)$ 图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，求 $f (0) + f (1) + f (2)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{n}{3^{x - 1} + m} (m > 0)$ 的图象关于点 $P (1, - \frac{1}{2})$ 中心对称.
（ⅰ）求实数 $m$ 、 $n$ 的值；
（ⅱ）设函数 $g (x) = \frac{3^{x - k} + n}{3^{x - k} + m} + x^{3} - 3 k x^{2} + 3 k^{2} x - k^{3} + c$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a$ 、 $b$ 满足 $g (\frac{2 k}{2025}) + g (\frac{4 k}{2025}) + g (\frac{6 k}{2025}) + \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048 k}{2025}) \leq 2024 (a + 2 b)$ ，且不等式 $λ (2 b + c) a \leq 2 b^{2} + b c + a^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、某放射性物质在衰变过程中，其质量 $m$ （单位：克）与年数 $t$ 满足关系式 $m = m_{0} e^{- k t}$ （ $m_{0}$ 为初始质量， $k$ 为常数， $e \approx 2.718$ ）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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