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相关试卷

1、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，左、右两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\} (k \geq 2)$ ，其中 $a_{i}$ 为整数 $(i = 1, 2, \dots, k)$ ，由 $A$ 中元素可构成两个点集 $P$ 和 $Q : P = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x + y \in A\}, Q = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，其中 $P$ 中有 $m$ 个元素， $Q$ 中有 $n$ 个元素．新定义1个性质 $G$ ：若对任意的 $x \in A$ ，必有 $- x \notin A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $G$ ．

(1)、已知集合 $S = \{0, 2, 4\}$ 与集合 $T = \{- 1, 2, 3\}$ ，判断它们是否具有性质 $G$ ，若有，则直接写出其对应的集合 $P, Q$ ；若无，请说明理由；

(2)、集合 $A$ 具有性质 $G$ ，若 $k = 100$ ，求：集合 $Q$ 最多有几个元素？

(3)、试判断：集合 $A$ 具有性质 $G$ 是 $m = n$ 的什么条件，并证明．

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3、已知函数 $f (x) = a^{x} + (1 - m) a^{- x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求实数 $m$ 和 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = {log}_{t} [2^{2 x} + 2^{- 2 x} - t f (x)] (t > 0, t \neq 1)$ ，是否存在正实数 $t$ ，使关于 $x$ 的不等式 $g (x) \leq 0$ 对 $x \in [2, {log}_{2} 5]$ 恒成立，若存在，求出 $t$ 的范围；若不存在，请说明理由．

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4、已知定义在 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ ，对任意的 $x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并加以证明；

(3)、如果对任意的 $x, y \in (0, + \infty), f (x^{2} + y^{2}) \leq f (a) + f (x y)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知函数 $y = \frac{1}{2} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x cos x + 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $y$ 的最大值，并求自变量 $x$ 的取值集合；

(2)、求该函数的单调递增区间．

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6、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + {log}_{2} (x - 1)$ 的定义域是．

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7、函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{3}, g (x) = ln (\sqrt{1 + 9 x^{2}} - 3 x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 C、 $\frac{g (x)}{f (x)}$ 是奇函数 D、 $g (f (x))$ 是奇函数

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8、若 $0 < b < a < \frac{1}{e}, x = a + b e^{b}, y = b + a e^{a}, z = b + a e^{b}$ 则下列大小关系错误的是（）

A、 $x < z < y$ B、 $z < x < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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9、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 $ω$ 的最小值为4 B、若 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的最小值为1 C、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上无零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$

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10、设函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 在区间 $[a, a + \frac{π}{3}]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M - m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - \frac{1}{x} + 2, x < c \\ x^{2} - 2 x + 3, c \leq x \leq 3 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $[2, 6]$ ，则实数 $c$ 的取值范围（）

A、 $[- 1, - \frac{1}{4}]$ B、 $[- \frac{1}{4}, 0)$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$

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12、已知 $m > 2 n > 0$ ，则 $\frac{m}{m - 2 n} + \frac{m}{n}$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2} - 2$

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13、下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}, y = x + 3$ B、 $y = \sqrt{x^{2}} - 1, y = x - 1$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}, y = |x|$ D、 $y = x^{- 1}, y = - \frac{1}{\dot{x}}$ ．

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14、设集合 $A = \{(1, 2), (2, 1)\}, B = \{(x, y)| x - y = 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 1\}$ B、 $\{(1, 2)\}$ C、 $\{(2, 1)\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $x \in R$ ）， $g (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）

(2)、利用（1）中的结论，在 $△ A B C$ 中，求 $\sin A + \sin B + \sin (A + B)$ 的最大值；

(3)、证明函数 $h (x) = a \ln \frac{1}{x} - x^{2} - \frac{2}{x} (a \leq 0)$ 是上凸函数．

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16、如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时．

(1)、求加油船到达小岛B所需的时间；

(2)、两艘船最少经过多少小时能相遇？

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + m}$ ．

(1)、是否存在 $m \in R$ ，使得 $f (x) + f (2 - x)$ 为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；

(2)、若 $m = 1$ ，方程 $|f (x) - \frac{1}{2}| = k f (x) (k \in R)$ 有两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\tan x$ 的值．

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19、在平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{B C} = (x - 1, y)$ ， $\vec{C D} = (2 x, - 2 y)$ ，且 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ 为非零向量．

(1)、若B是AD的中点，求 $\vec{B C}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ， $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求四边形ABCD的面积．

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20、已知 $△ A B C$ 中 $A B = 2$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = \frac{{\vec{A B}}^{2} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} \cdot \vec{A B}}{{\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2}}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ ．

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