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相关试卷

1、已知 $\vec{m}, \vec{n}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 在向量 $\vec{n}$ 上的投影向量为.

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2、2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为 $12 π$ 的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设 $P$ 为外壳上的一个动点，则（）

A、存在无数个点 $P$ ，使得 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ B、当平面 $P A A_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ C、当 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ D、存在无数个点 $P$ ，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$

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3、将函数 $y = sin x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，再将 $y = f (x)$ 的图象向右移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象.已知 $y = g (x)$ 的图象过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ ，则 $ω$ 的值可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} - \sqrt{3} b c$ ，则 $A = \frac{5π}{6}$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $A = B$ C、 $a cos B + b cos A = c$ D、若 $sin A = \frac{5}{13}, cos B = \frac{3}{5}$ ，则 $cos C = - \frac{16}{65}$ 或 $- \frac{33}{65}$

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，记 $\vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在底面为菱形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，且 $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A_{1} C_{1}} \otimes \vec{B D} = \sqrt{3}$ B、 $\vec{B A} \otimes \vec{C_{1} D} = 2$ C、 $\vec{D A} \otimes \vec{D_{1} B} = \sqrt{19}$ D、 $\vec{A_{1} D} \otimes \vec{A C} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

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6、某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）

A、线段 $A B$ 与 $G H$ 所在的直线异面 B、线段 $C D$ 与 $E F$ 所在的直线平行 C、线段 $C D$ 与 $G H$ 所在的直线所成的角为 $60 °$ D、线段 $A B$ 与 $E F$ 所在的直线相交

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7、在边长为1的正 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，且 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童 $A B C D - E F G H$ 中， $A B = 4, A D = 2, E F = 8, E H = 4$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）

A、36 B、46 C、56 D、66

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9、定义： $[\begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array}] = a d - b c$ ，在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则满足 $[\begin{matrix} a & b \\ cos A & cos B \end{matrix}] = 0$ 的 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 1$ ，记 $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、4

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11、下列说法正确的是（）

A、垂直于同一条直线的两直线平行 B、平行于同一平面的两个平面平行 C、过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 D、直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥

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12、已知 $\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (- 6, λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 12$ B、3 C、12 D、 $- 3$

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13、直线 $3 x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 4)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 2)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、40 C、6 D、36

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16、斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 $90^{°}$ 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} = (0, - 5)$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 5$ C、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

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18、某校学生积极参加社团活动，高一年级共有 $100$ 名学生，其中参加合唱社团的学生有 $63$ 名，参加科技社团的学生有 $75$ 名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生.

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19、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (x, y)$ ，求 $|\vec{a}|$

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ， $(\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $B C$ 边上的中点为D．

(1)、求四棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} B A$ 的体积；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - A C D$ 后所得几何体的表面积．

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