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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} \cdot \sqrt{1 + 4 a_{n}^{2}} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，令 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}, S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} < \frac{t}{31}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则整数t的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{10}, 1)$ D、 $(0, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ 对任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ 恒成立，若 $a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{k + 9} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 25$ ，则当该数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、9 B、8 C、8或9 D、7或8

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6、将正奇数按照如图排列，我们将 $3, 7, 13, 21, 31$ ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）

A、55 B、75 C、111 D、135

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7、若直线 $l_{1} : (m - 1) x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $2$ D、 $1$

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8、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{3} (1 - a_{n}) (n \in N^{*})$ ．若 $2 + b_{n} = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，且数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、求证：数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、若 $c_{n} \leq \frac{1}{4} (t^{2} + t - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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10、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C sin (A - B) = sin B sin (C - A)$ ．

(1)、求A取值的范围；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值；

(3)、若 $b = 2, A = 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 3, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{matrix}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = a$ ，则 $x_{3} (x_{1} + x_{2} + ln x_{3})$ 的最大值为.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ，若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $b + c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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13、若曲线 $y = a x^{2}$ 与 $y = \ln x$ 有一条斜率为2的公切线，则 $a =$ .

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14、已知函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b) （ a \neq 0)$ 的极大值点为 $x = a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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15、已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973.)$ （）

A、标准差为100 B、及格率超过 $86 %$ C、得分在 $(70, 130]$ 内的人数约为997 D、得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

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16、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到的图象对应的函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减，则m的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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17、如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $- 20$ C、15 D、20

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $|A F_{1}| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的余弦值；

(3)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

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19、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $P A$ ⊥底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2 ， A B = 1$ ，点E为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B E ⊥ D C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $A - B D - P$ 的余弦值．

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20、分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示）

(1)、经过点 $A (3, 2)$ ，且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直

(2)、经过两直线 $2 x + y - 8 = 0$ 与 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且与直线 $2 x - 3 y - 6 = 0$ 平行

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