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相关试卷

1、甲箱中有 $5$ 个红球， $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙箱中有 $4$ 个红球， $3$ 个白球和 $3$ 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（）

A、事件 $B$ 与事件 $A_{3}$ 相互独立 B、 $P (A_{1}| B) = \frac{5}{9}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{6}{55}$ D、 $P (B) = \frac{9}{22}$

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2、已知 $\sin β + \cos β = \frac{1}{5}$ ， $β \in (0, π)$ ，则下列各式正确的有（）

A、 $\sin 2 β = - \frac{24}{25}$ B、 $\sin β - \cos β = \pm \frac{7}{5}$ C、 $\cos 2 β = \frac{7}{25}$ D、 $\tan β = - \frac{4}{3}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} e^{x}, x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} - a^{2} f (x) = 0$ （ $a > 0$ ）有两个不等实根，则下列选项正确的是（）

A、2是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $h (x) = f (x) - x$ 无零点 C、a的取值范围是 $(\frac{2}{e}, \frac{e}{2}) \cup [\sqrt{e}, + \infty)$ D、 $\exists x_{1} \in (0, 1)$ ， $x_{2} \in (1, 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$

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4、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $3 S_{n} = a_{n} + 64$ ．若 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $2^{9}$ B、 $2^{14}$ C、 $2^{15}$ D、 $2^{16}$

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5、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$ D、 $6 π$

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6、某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（）

A、150 B、200 C、300 D、400

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7、已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (2^{|a - 1|}) > f (- \sqrt{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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8、在复平面内，O为坐标原点，复数 $1 - i$ ， $- 1 + 2 i$ 对应的向量分别是 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ ，则 $\vec{M N}$ 对应的复数为（）

A、 $- 2 + 3 i$ B、 $i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $- i$

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9、已知全集 $U = A \cup B = {x \in N | 0 \leq x \leq 4}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {1, 2, 3}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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10、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ A B$ ， $P A = A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P A$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P D$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值．

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11、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，若 $a + 4 b = 4$ ，则 $\frac{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为，此时 $a$ 的值为.

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12、我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体 $A B C D E F$ 中， $E F // A D // B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 为等腰梯形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ .其中 $E F = a$ ， $A D = b$ ， $B C = c$ （ $b > c > a$ ），且 $E F$ 到平面 $A D C B$ 的距离为 $h$ ， $B C$ 和 $A D$ 的距离为 $d$ ，若 $a = 4$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $h = 3$ ， $d = 4$ ，则该“羡除”的体积为.

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13、已知集合 $A = \{1, |a - 1|, a + 2\}$ ，且 $2 \in A$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 $f (3 + x) - f (3 - x) + 6 x = 0$ ，函数 $f (1 - 2 x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称 B、8是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 一定存在零点 D、 $f (101) = - 299$

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15、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、直线 $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1, 2]$

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16、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设 $E, F$ 是锐角 $∠ A P B$ 的一边 $P A$ 上的两点，试在边 $P B$ 上找一点 $Q$ ，使得 $∠ E Q F$ 最大．”如图，其结论是：点 $Q$ 为过 $E, F$ 两点且和射线 $P B$ 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x o y$ 中，给定两点 $E (2, 4), F (4, 2)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上移动，则 $∠ E Q F$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $5 a_{5} - 2 S_{5} = 2$ ，则 $3 a_{6} - S_{6} =$ （）．

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、6

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18、已知方程 $\frac{x^{2}}{k - 2} - \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）．

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 3) \cup (3, 4)$

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19、样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（）．

A、19 B、22 C、21 D、18

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20、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 2, 0)$ ，椭圆上任意一点到 $F_{1}$ 的距离最大值为6.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过原点且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于M，N两点.
（i）当 $k \neq 0$ 时，设直线 $F_{1} M$ ， $F_{1} N$ 的斜率分别是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $\frac{k}{k_{1}} + \frac{k}{k_{2}}$ 为定值；
（ⅱ）过点 $F_{1}$ 作垂直于 $M N$ 的直线交 $M N$ 于 $T$ ，交圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 2)$ 于P，Q两点，记 $△ P M T$ ， $△ Q N T$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2} (S_{1} < S_{2})$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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