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相关试卷

1、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值

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2、已知函数 $f (x) = (x + 1) \sin x + \cos x$ .若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{π}{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| > t |e^{x_{1}} - e^{x_{2}}|$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 0]$

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3、某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（）

A、630种 B、840种 C、1470种 D、1480种

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4、春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（）

A、180 B、240 C、360 D、420

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5、五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数为（）

A、12 B、24 C、48 D、72

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6、已知 $\sin 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 ${(\sin α + \cos α)}^{2}$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7、 $|1 + i - i^{2} - i^{3}| =$ （）

A、 $0$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $8$

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8、已知集合 $A = \{x | - 3 < x < 2\}$ ，集合 $B = \{x | 0 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(0, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(- 3, 0]$

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9、已知函数 $f (x) = sin x \cdot sin (x + \frac{π}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} {cos}^{2} x$ ，将 $f (x)$ 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心，并写出函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的方程 $g (x) + cos x - a = 0$ 在 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 内有两个不同的解 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ；
①求实数 $a$ 的取值范围；
②用 $a$ 的代数式表示 $cos (θ_{1} - θ_{2}) + \sqrt{10} sin (\frac{θ_{1} + θ_{2}}{2})$ 的值．

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10、如图，已知扇形 $A O B$ 半径为1，圆心角为 $θ = \frac{π}{3}$ ， $P$ 是扇形弧上的动点，记 $∠ A O P = α$ ，

(1)、请用 $α$ 来表示平行四边形 $O C P Q$ 的面积 $f (α)$ ；

(2)、求平行四边形 $O C P Q$ 面积的最大值，以及面积最大时角 $α$ 的值；

(3)、设 $g (α) = \sqrt{3} [f (α) + \frac{\sqrt{3}}{6}]$ ，若 $g (x) = \frac{4}{5} (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{3})$ ，求 $g (x + \frac{π}{6})$ ．

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11、某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为 $t$ 分钟．

(1)、求1号座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若只考虑前24分钟，
（i）求1号座舱与地面的距离为16米时 $t$ 的值；
（ii）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为 $H$ 米，求 $H$ 的最大值和当 $H$ 取得最大值时 $t$ 的值．

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12、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线， $E$ 为 $A D$ 中点，过点 $E$ 的直线交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $\vec{A B} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = μ \vec{A N}$ ，（ $M$ ， $N$ 与点 $B$ ， $C$ 不重合）

(1)、求 $x$ 和 $y$ 的值；

(2)、证明： $λ + μ$ 为定值；

(3)、求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ， $μ$ 的值．

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13、解答下列各题：

(1)、证明： $\frac{tan α + tan β}{tan α - tan β} = \frac{sin (α + β)}{sin (α - β)}$ ．

(2)、化简并求值 $tan 70^{\circ} - \frac{2 cos 80^{\circ}}{cos 70^{\circ}}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的相邻两个对称中心的距离为 $\frac{3}{2}$ ，且 $f (1) = - \sqrt{3}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图像与函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ （ $- 2019 < x < 2023$ 且 $x \neq 2$ ）的图象所有交点横坐标之和为．

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15、已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < π$ ， $sin α = \frac{3}{5}$ ， $cos β = - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $α - β =$ ．

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16、若等边三角形 $A B C$ 的边长为 $4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ ；

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17、已知函数 $f (x) = - m sin x + cos 2 x$ ，则（）

A、当 $m = - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有3040个零点 B、当 $m < - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有2026个零点 C、当 $m > 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, n π)$ 上恰有2168个零点，则正整数 $n$ 的值是2168 D、当 $- 1 < m < 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有4054个零点

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18、已知如图是函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的在 $(- 1, 2)$ 上单调递增 C、若 $\exists x \in [- π, 0]$ 使得 $m > f (x)$ 恒成立，则 $m > - \sqrt{3}$ D、 $y = f (x)$ 在 $[0, m)$ 上存在最大值，不存在最小值，则 $m$ 取值范围是 $[\frac{2 π}{3}, \frac{8 π}{3})$

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19、下列说法正确的是（）

A、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充分不必要条件 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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20、 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ 都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ， $a = 2 sin 7^{\circ} sin 83^{\circ}$ ， $b = \frac{2 tan 8^{\circ}}{1 + {tan}^{2} 8^{\circ}}$ ， $c = 2 {cos}^{2} \frac{5 π}{24} - 1$ ，则 $\frac{f (a)}{a}$ ， $\frac{f (b)}{b}$ ， $\frac{f (c)}{c}$ 的大小顺序为（）

A、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c}$ B、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (b)}{b}$ C、 $\frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a}$ D、 $\frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b}$

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