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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ．

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2、香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度 $C D$ ，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在B处测得塔顶部D的仰角为 $15 °$ ，则香霏楼的顶部与地面的距离约为 m..

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3、计算 ${(\frac{3 + i}{2 - i})}^{2} =$ ．

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4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{6}$ B、若b＝4，则△ABC的周长的最大值为 $12$ C、若D为AC的中点，且BD＝2，则△ABC的面积的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则a+4c的最小值为9

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5、已知 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - m x + m + 3)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $M$ ，则（）

A、若 $D = R$ ，则 $M \neq R$ B、对任意 $m \in R$ ，使得 $f (- 5) = f (- 7)$ C、对任意 $m \in R, f (x)$ 的图象恒过一定点 $(1, 2)$ D、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 3)$ 上单调递减，则 $m$ 的取值范围是 $\{6\}$

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6、下列说法正确的是（）

A、某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B、甲、乙、丙三种个体按 $1 : 2 : 3$ 的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C、数据 $4$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ 的 $60 %$ 分位数是8 D、数据 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ 的方差为 $s^{2}$ ，则数据 $3 a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $3 a_{3}$ ， …， $3 a_{n}$ 的方差为 $9 s^{2}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $a b = 2, a^{2} + 3 c^{2} = b^{2}$ ，若以m为参数的不等式 $\cos 2 C + 2 m \sin (A + B) + m^{2} - 2 \geq 0$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}] \cup [1, + \infty)$ C、 $[- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}, - 1] \cup [\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}, 1]$ D、 $[- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}]$

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8、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °, A B = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，若三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{7 \sqrt{7} π}{6}$ ，则二面角 $P - B D - C$ 的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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9、若函数 $f (x) = A cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- π < φ < π$ ）的图象上有两个相邻顶点为 $M (- 3, \sqrt{3})$ ， $N (1, - \sqrt{3})$ .将 $f (x)$ 的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位后得 $g (x)$ ，则 $g (\frac{4}{3})$ 为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10、一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 π$

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $A A_{1}$ 的中点，则点B到直线 $C_{1} P$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数的单调区间；

(3)、根据图象写出使 $f (x) < 0$ 的x的取值集合.

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14、已知集合 $A = \{x |x \geq 3\}, B = \{x |1 \leq x \leq 7\}, C = \{x |x \geq a - 1\}$ .

(1)、求 $A \cap B, A \cup B$

(2)、 $∁_{R} (A \cup B), (∁_{R} A) \cap B$ ；

(3)、若 $C \cup A = A$ ，求实数a的取值范围.

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15、若函数 $y = x^{2} - 4 x - 3$ 的定义域为 $[0, a]$ ，值域为 $[- 7, - 3]$ ，则a的值可能为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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16、若正实数a，b满足 $a + 2 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 有最小值9 B、 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{8}$ C、 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{4}$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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17、设 $a \in R$ ，则“ $2 < a < 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 6) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知椭圆 $C$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (- 3, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点， $0 < y_{1} < y_{2}$ ，点 $M_{1}$ 与 $M$ 关于 $y$ 轴对称，点 $N_{1}$ 与 $N$ 关于 $x$ 轴对称，设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ .
（i）求证： $k k_{1}$ 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 $|M N| = |M_{1} N_{1}|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在定义域内恰有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、记点 $O (0, 0)$ ，当 $t > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (t, f (t))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求三角形 $A O B$ 面积 $S (t)$ 的最大值.

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D$ ，直线 $P A$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P B = 3$ ，点 $M$ 为线段 $P B$ 上的动点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、若直线 $A M$ 和 $D N$ 相交，求证： $M N / / B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当三棱锥 $A - B M D$ 的体积最大值时，求此时三棱锥 $A - B M D$ 外接球的体积.

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