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相关试卷

1、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{O P} = (3, 2)$ ，求 $| \vec{O P} |$ ；

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2), \vec{b} = (\cos θ, 1), (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值．

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2、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α$ 和 $β$ 均为钝角，求：

(1)、 $\sin (α - β), \tan (α - β)$ ；

(2)、 $α + β$ ．

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3、已知向量 $\vec{O P} = (3, 4)$ 如图所示，将向量 $\vec{O P}$ 绕原点O沿逆时针方向旋转 $45 °$ 到 $\vec{O P^{'}}$ 的位置，设 $∠ x O P = α$ ．

(1)、求 $\frac{\cos (\frac{π}{4} - α)}{\cos 2 α}$ 的值；

(2)、求点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标．

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4、如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A D}, \vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B E}$ ；

(2)、求证：B，E，F三点共线．

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5、已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) + \cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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6、在人工智能领域，尤其是在自然语言处理任务中，词向量是一种将词语表示为实数向量的技术．这些向量能够捕捉词语之间的语义关系，例如通过计算向量之间的余弦相似度 $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ 来衡量词语的相似性．假设我们有一个简化的词向量空间，其中每个词被表示为一个二维向量，已知三个词 $A, B, C$ ，词 $A$ 的向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ，词B的向量 $\vec{b} = (- 2, 5)$ ，词 $C$ 的向量 $\vec{c} = (1, - 1)$ ，如果词 $A$ 代表“快乐”，推测词 $B$ 和词 $C$ 中（填 $B$ 或 $C$ ）可能代表与“快乐”相似的词语类型．

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 2$ ， $A = 30 °$ 的三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(0, 2)$

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, π < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点 $(0, - 1), (\frac{π}{3}, 1)$ ，则（）

A、 $φ = \frac{11 π}{6}$ B、 $ω = 3$ C、将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{2 π}{9}$ 个单位后图象关于y轴对称． D、方程 $f (x) = a (- 2 < a < - 1)$ 在 $[0, π]$ 内恰有4个互不相等的实根

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (7, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, 5)$ B、 $| \vec{b} | = 10 | \vec{a} ∣$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$

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10、 $△ A B C$ 是钝角三角形，内角 $A, B, C$ 所对的边 $a = 1, b = 2$ ，则最大边 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{3}, 3)$ B、 $(\sqrt{3}, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(\sqrt{5}, 3)$

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11、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}, B = 45 °$ ，则角A的值为（）

A、 $30 °$ 或 $150 °$ B、 $60 °$ 或 $120 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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12、 $\cos 15 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{4}$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点 $F (- 2, 0)$ 短轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、连线 $l : x = - \frac{a^{2}}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，过焦点 $F (- 2, 0)$ 的直线与椭圆交于 $M, N$ 两点.
（i）证明： $Q$ 点在以 $M N$ 为直径的圆外：
（ii）在 $l$ 上是否存在点 $E$ 使得 $△ E M N$ 是等边三角形.若存在，求出直线 $M N$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + \cos x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 只有一个零点；

(3)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，函数 $f (x) > a x - \sin x$ 恒成立，求a的取值范围．

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别为 $A B ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C D / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、若侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 是等边三角形，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是菱形，且 $∠ A_{1} A C = 60^{°}$ ，求直线 $D E$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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16、随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（ $x \in N^{*}$ ）
乘坐站数
$0 < x \leq 4$
$4 < x \leq 9$
$9 < x \leq 15$
票价（元）
2
4
6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．

(1)、若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？

(2)、若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

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17、已知 $y = f (x) - 3 x$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (1 + x) = f^{'} (1 - x)$ ，则 $f^{'} (2026) =$ ．

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18、三角形ABC中， $a = 3$ ， $b = 4$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $c =$ .

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19、在 ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为，（用数字作答）

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20、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ ，则 $a = 1$ B、若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、若 $a > e^{2}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $a - a \ln a - 1$ D、若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a = 1$

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乘坐站数	$0 < x \leq 4$	$4 < x \leq 9$	$9 < x \leq 15$
票价（元）	2	4	6