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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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2、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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4、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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6、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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8、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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9、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 22$ ， $1 + 2 a_{2} = a_{4}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ ， $b_{2} = 2 b_{1}$ ， $b_{4} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 $B (n, p)$ ，那么当n比较大时，X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其密度函数为 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{（ x - μ ）^{2}}{2 σ^{2}}}$ ， $x \in R ．$ 任意正态分布 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，可通过变换 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布 $Z ~ N (0, 1) ．$ 当 $Z ~ N (0, 1)$ 时，对任意实数x，记 $Φ (x) = P (Z < x)$ ，则（）

A、当 $x > 0$ 时， $P (- x \leq Z < x) = 1 - 2 Φ (x)$ B、 $Φ (x) + Φ (- x) = 1$ C、随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，当 $μ$ ， $σ$ 都减小时，概率 $P (|X - μ| < σ)$ 增大 D、随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，当 $μ$ 增大， $σ$ 减小时，概率 $P (|X - μ| < σ)$ 保持不变

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12、已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义新运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则称 $f (x)$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数.例如：向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x - x$ .

(1)、若向量 $\vec{m} = (1, - 1)$ ， $\vec{n} = (u \cos x, v \sin x)$ （ $u$ ， $v \in R$ ），且向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x + 2 \sin x$ ，求 $|\vec{n}|$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{m} = (\sin^{2} x, 4)$ ， $\vec{n} = (1, \cos x - 1)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若向量 $\vec{m} = (sin (2 x - \frac{π}{6}), 4)$ ， $\vec{n} = (2, cos (2 x + \frac{π}{3}))$ 的点积函数为 $h (x)$ ，且存在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ ，使得 $- 2 \leq h (x) + k \leq 3$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = m - |x - 2|$ ， $m \in R$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, 1]$
（1）求 $m$ 的值；
（2）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证 $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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14、（1）已知 $x > 0$ ，求 $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的最大值.
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 3 y = 6$ ，求 $x y$ 的最大值.

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15、已知集合 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，将 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ （其中 $i \in \{1, 2, 3\}$ ， $j \in \{4, 5, 6\}$ ）的乘积 $ x_{i} x_{j}$ 放入如图的 $3 \times 3$ 方格中，则方格中全部数之和的最大值为.
$x_{1} x_{4}$
$x_{1} x_{5}$
$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$
$x_{2} x_{5}$
$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$
$x_{3} x_{5}$
$x_{3} x_{6}$

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16、一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 $60 °$ ，若该圆锥的侧面积为 $3 \sqrt{3} π$ ，则该圆锥的体积为.

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17、函数 $f (x) = {log}_{3} (a^{x} - 2^{- x})$ （ $a > 1$ ），若 $f (x) > 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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18、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $k$ ，若 $0 < k < 1$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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19、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x} + 1$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $0 < a < \frac{2}{e}$ C、 $0 < a \leq \frac{2}{e}$ D、 $a \geq \frac{2}{e}$

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$x_{3} x_{4}$	$x_{3} x_{5}$	$x_{3} x_{6}$