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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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2、已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式 $S (t) = \sin t + 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬间速度为（）

A、 $0 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $2 m / s$ D、 $3 m / s$

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3、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{3} + a_{9} = 4 a_{5}$ ， $a_{2} = - 4$ ，则首项 $a_{1}$ 等于（）

A、0 B、 $- 2$ C、 $- 6$ D、 $- 8$

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4、袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{15}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、定义：若非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ ，函数 $f (x)$ 的解析式满足 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，则称 $f (x)$ 为 $\vec{O M}$ 的“线性函数”， $\vec{O M}$ 为 $f (x)$ 的“线性向量”，

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 为函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 4 sin (x - \frac{π}{2})$ 的“线性向量”，求 $|\vec{O M}|$

(2)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的“线性函数”，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{3}, f (A) = 1$ ，且 $cos B cos C = - \frac{1}{8}$ ，求 $A B + A C$ 的值；

(3)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, 1)$ 的“线性函数”，且当 $x \in [0, \frac{11 π}{6}]$ 时，方程 $f^{2} (x) + (2 - a) f (x) + a - 3 = 0$ 存在4个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为 $a$ ，点 $R$ 是棱 $P C$ 的中点，点 $Q$ 是底面 $A B C D$ 内任意一点，点 $Q$ 到侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B R D$ ；

(2)、求 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}$ ；

(3)、记 $P Q$ 与侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 所成的角分别为 $α, β, γ, δ$ ，证明： ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ + {cos}^{2} δ > \frac{20}{9}$ ．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、已知复数 $z$ 和它的共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $3 z + \bar{z} = 4 + 4 i$ .

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求复数 $q + p i$ 的模长.

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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10、已知 $\sin (α - β) \cos α - \cos (α - β) \sin α = \frac{3}{5}$ ，且 $β$ 为第三象限角，则 $\cos β =$ .

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11、三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， A点在侧面PBC上的射影H是 $△ P B C$ 的垂心， $P A = 6$ ，此三棱锥体积的最大值是.

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12、如图，在平面直角坐标系 $x A y$ 中， $\vec{A B} = (4, 0), \vec{A D} = (1, 4), \vec{D C} = (2, - 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $|\vec{B D}| = 4$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{21}{2}$ C、 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $2 \sqrt{5} π$ D、 $cos < \vec{C B}, \vec{C D} > = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、已知 $△ A B C$ 且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = {\vec{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上的动点， $B C = 2 A B = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、若 $P$ 为线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 12$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $[- \frac{1}{2}, 12]$

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14、已知共面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4, \vec{b} + \vec{c} = 2 \vec{a}$ 且 $|\vec{b}| = |\vec{b} - \vec{c}|$ .若对每一个确定的向量 $\vec{b}$ ，记 $|3 \vec{b} + t \vec{a}| (t \in R)$ 的最小值为 $d_{\min}$ ，则当 $\vec{b}$ 变化时， $d_{\min}$ 的最大值为 (　　)

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、8 D、 $\frac{17}{2}$

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15、计算： $sin 30 ° cos 15 ° + sin 60 ° sin 15 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = |\vec{b} - \vec{c}| = 3$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ （ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ）.当 $λ + μ = 4$ 时， $|c| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{58}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{62}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{66}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{70}}{2}$

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17、已知 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 0)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(0, - 2)$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷正整数数列，且对任意的 $n \geq 3, a_{n + 1} = card \{k ∣ a_{k} = a_{n}, k \in {1, 2, \dots, n}\}$ ，其中 $card S$ 表示有穷集合S的元素个数．

(1)、若 $a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{4} = 2$ ，求 $a_{5}$ 的所有可能取值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 中存在等于1的项；

(3)、求证：存在 $t \in N^{*}$ ，使得集合 $\{k \in N^{*} ∣ a_{k} = t\}$ 为无穷集合．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x + 1}{e^{x - 1}} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 1$ ，求 $a$ 的值．

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(0, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 2 (k < 0)$ 与椭圆E交于不同的两点A，B，直线 $y = x$ 与直线 $A B$ 交于点N，若 $∠ A O N = ∠ B O N$ （O是坐标原点），求k的值．

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