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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是边长为4的菱形， $∠ A_{1} A C = 120 °, B C_{1} = 5, A B = 3$ ．

(1)、求证：侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x - φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $g (x)$ 存在且唯一，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
条件②： $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ；
条件③： $g (x)$ 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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3、设 $a > 0$ ，过原点 $O$ 的直线（不与 $x$ 轴重合）与圆 $A : x^{2} + {(y - a)}^{2} = a^{2}$ 交于点P与直线 $y = 2 a$ 交于点 $Q$ ．过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，这两条直线交于点 $M (x, y)$ ，称 $y$ 为 $x$ 的箕舌线函数，记作 $y = f (x)$ ，给出下列四个结论：
①函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称；
②若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；
③设函数 $h (x) = x f (x)$ ，则 $h (x)$ 的最大值为 $2 a^{2}$ ；
④设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，则 $g (x)$ 的最小值为 $2 a$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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4、若直线 $y = \frac{1}{3} x$ 与双曲线 $C : y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为．

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5、在 $△ A B C$ 中， $a + c = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\tan B = 2$ ，则 $\sin B =$ ； $△ A B C$ 面积的最大值为．

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 8, a_{5} + a_{6} = 8$ ，则 $a_{3} + a_{4} =$ ；设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最小值为．

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7、若复数z满足 $z \cdot i = 2 + i$ ，则 $| z | =$ ．

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8、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，定义 $σ_{k} = \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{k}}{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{n} = 1$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ B、当 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ C、当 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ 时，则 $σ_{2025} - S_{2025} > 0$ D、当 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ 时， $σ_{2025} - S_{2025} > - \frac{1}{2025}$

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9、金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设 $A B = a$ ，则E到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9} a$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{12} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9} a$

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10、已知函数 $f (x) = x - x^{3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t)) (t \in (0, 1))$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，则（）

A、当 $x > 0$ 时， $h (x) > h (0)$ B、当 $x < 0$ 时， $h (x) < h (0)$ C、当 $x > 0$ 时， $h (x) \leq 0$ D、当 $x < 0$ 时， $h (x) \geq 0$

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11、设 $α \in R$ ，则“ $\sin 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $\tan α = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、在矩形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A D = 2, A B = \sqrt{2}$ ，点E为线段 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $A C$ 交于点F．设 $\vec{A F} = k_{1} \vec{e_{1}} + k_{2} \vec{e_{2}} (k_{1}, k_{2} \in R)$ ，其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $\vec{A B}, \vec{A D}$ 方向相同的单位向量，则（）

A、 $k_{1} = \frac{2}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $k_{1} = \frac{\sqrt{2}}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$ C、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = | x | - | x - 2 | + 1$ ，则对任意实数x，有（）

A、 $f (1 - x) = 2 - f (1 + x)$ B、 $f (- x) = - f (x) - 2$ C、 $f (2 - x) = 2 + f (x)$ D、 $f (2 + x) = f (2 - x)$

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14、已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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15、已知 $a = \log_{0.5} 0.2, b = {0.5}^{0.5}, c = 2^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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16、若抛物线 $C : x^{2} = m y (m \neq 0)$ 的焦点坐标为 $(0, - 1)$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $y = 2$ D、 $y = 1$

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17、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + x < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 2^{x} \leq 1\}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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18、如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ －1 D、 $\sqrt{2}$ －1

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A = P C$ ， E为侧棱PD上的点，且 $P E = 3 E D$ .

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、在侧棱PC上是否存在一点F，使得 $B F / /$ 平面 $A C E$ ？若存在，求 $\frac{P C}{P F}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ ，且 $\frac{3 (sin A - sin B)}{sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b} .$

(1)、求 $sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2};$
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，且 $b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 的长；
②求内角 $A$ 的角平分线 $A D$ 长的最大值.

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