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相关试卷

1、已知a，b，c分别为斜 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b - a \cos C = \sqrt{3} a \sin C - \sqrt{3} c$ .

(1)、求角A的值；

(2)、记 $B C$ 边上的高为h，
（i）若 $h = \frac{\sqrt{3}}{14} a$ ，求 $\sin B : \sin C$ 的值；
（ii）求 $\frac{\sqrt{3} h}{b} + \frac{h}{c}$ 的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， M，N分别是 $P B$ ， $C D$ 的中点， $A D = 3 B C$ ， $\vec{P E} = λ \vec{E D}$ ．

(1)、求证 $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P B / /$ 平面 $A C E$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、当 $λ = 2$ 时，若 $P A = P B = P C = A D = 9$ ， $C D = 12$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，请在图中作出四棱锥 $P - A B C D$ 过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长．

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3、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{°}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $λ \in R$ ．

(1)、当 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时，求实数 $λ$ 的值；

(2)、当 $|\vec{c}|$ 取最小值时，求向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 夹角的大小．

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4、已知复数 $z = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $(m \in R)$ ，其中 $i$ 为虚数单位．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z + i = (a + b i) \cdot (\bar{z} - i)$ ， $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值．

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5、如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 3 O C = 3 O D = 3$ ，点E在弧 $C D$ 上运动（包括端点），记 $\vec{O E}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量为 $\vec{O G}$ ，则 $\vec{O G} \cdot \vec{B E}$ 的取值范围是．

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6、甲船在B岛的南偏东 $30^{°}$ 方向A处， $A B$ 两地相距100千米．甲船向北偏西 $30^{°}$ 方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东 $30^{°}$ 的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为千米．

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7、设向量 $\vec{m} = (3, 5)$ ， $\vec{n} = (- 2, a)$ ，若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 共线，则实数a的值为．

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8、已知复数 $z = a + b i$ ，（ $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）， $z_{1}, z_{2} \in C$ ，定义： $D (z) = ||z|| = |a| + |b|$ ， $D (z_{1}, z_{2}) = ‖z_{1} - z_{2}‖$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，则 $D (\bar{z}) = D (z)$ 恒成立 B、对任意 $z \in C$ ，都有 $D (z^{2}) \leq {[D (z)]}^{2}$ 恒成立 C、存在 $z_{1}, z_{2} \in C$ ，有 $D (z_{1} \cdot z_{2}) > D (z_{1}) \cdot D (z_{2})$ 成立 D、对任意 $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ ，都有 $D (z_{1}, z_{3}) \leq D (z_{1}, z_{2}) + D (z_{2}, z_{3})$ 恒成立

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）

A、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A < \cos B$ B、若 $c = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 有两解，则 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} < a < 3$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $c = 3$ ， $b = 4$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C}$ 的值为 $- \frac{7}{2}$

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10、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c < 0$ ， $a, b, c \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a b < a^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{c} > b^{c}$

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11、水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（）

A、 $(6 + 4 \sqrt{2}) π$ B、 $(8 + 4 \sqrt{3}) π$ C、 $(3 + 2 \sqrt{2}) π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D， $△ A B D$ 的面积是 $△ A D C$ 面积的4倍，则 $\tan B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{8 - \sqrt{3}}{61}$ D、 $\frac{8 + \sqrt{3}}{61}$

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13、已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，且 $|\vec{A E}| = 3$ ， $|\vec{A F}| = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为（）

A、-3 B、-6 C、-9 D、-12

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14、若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} - 2 α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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15、已知 $l$ ， m为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α \cap β = l$ ， $l ∥ m$ ，则m至少与 $α$ ， $β$ 中一个平行 B、若 $l ∥ m$ ， $l \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l / / β$ D、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $l ∥ m$ ，则 $α ∥ β$

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16、若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（）

A、 $35 \sqrt{3} π$ B、 $70 \sqrt{3} π$ C、 $70 π$ D、 $140 π$

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17、 ${(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}} + \log_{8} 2$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{3}$ B、1 C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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18、 $s i n 300^{\circ}$ 的值

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和.

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n}), b_{n} = g (3^{n})$ ，求数列 $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对互不相等的质数 $p ､ q ､ r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r), g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值.

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20、已知 $f (x) = ln (\frac{x - a}{x + a}) + a x (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < 0 < x_{2})$ ，证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \leq \frac{x_{2} - x_{1}}{2}$ .

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