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相关试卷

1、设复数z满足 $|z - i| = 1$ ，则以下结论正确的是（）．

A、z在复平面上对应的轨迹是圆 B、 $|z|$ 的最大值为2 C、 $|z|$ 的最小值为0 D、复数z的虚部取值范围是 $[- 1, 1]$

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2、甲、乙进行10道高考数学题解题比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的是（）．
题号
1题
2题
3题
4题
5题
6题
7题
8题
9题
10题
甲
10
8
11
10
9
10
16
7
12
10
乙
14
9
7
13
8
6
12
7
14
9

A、甲的平均数大于乙的平均数 B、甲的极差大于乙的极差 C、甲的众数小于乙的中位数 D、甲的60％分位数大于乙的60％分位数

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3、函数 $f (x)$ 的图象由 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > \frac{1}{2})$ 倍后得到的，若函数 $f (x) = \pm 1$ 在区间 $(3 π, 4 π)$ 上均不成立，则 $ω$ 的取值范围是（）．

A、 $[\frac{5}{9}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{7}{6}, \frac{11}{9}]$ B、 $[\frac{7}{12}, \frac{8}{9}] \cup [\frac{11}{12}, \frac{11}{9}]$ C、 $[\frac{5}{9}, \frac{5}{6}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$ D、 $[\frac{5}{9}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{11}{12}]$

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4、在平面直角坐标系中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，点 $A, B$ 在椭圆上， $\vec{B F} = 2 \vec{F A}$ ，点B关于原点O的对称点为M．若 $M F ⊥ A B$ ，则C的离心率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

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5、如图，已知圆C的弦 $A B$ 的长度为4，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值是（）．

A、4 B、6 C、8 D、10

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6、已知随机变量X服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X \leq 5) = 0.29$ ，则 $P (X \geq 8) =$ （）．

A、0.21 B、0.2 C、0.31 D、0.3

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7、某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点（景点人数不限），则这3名学生的旅游安排方式共有（）．

A、6种 B、24种 C、64种 D、81种

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8、一物体沿直线运动，其位移 $s (t)$ （单位：m）随时间t（单位：s）的变化关系为 $s (t) = - t^{2} + 3 t$ ，则 $t = 1 s$ 时，物体的瞬时速度大小为（）．

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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9、已知 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）．

A、 $3 i$ B、3 C、 $- \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10、 $A = \{y |y - 1 - \ln y \geq 0\}$ ，则下列集合与A相等的是（）．

A、 $\{x |x > 0\}$ B、 $\{x |x \geq 0\}$ C、 $\{y |y \geq e\}$ D、 $\{y |y \geq 1\}$

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11、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $E (a X + 4) =$ （）

A、 $104$ B、 $100$ C、 $34$ D、 $7$

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12、如图所示，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $θ (0 < θ < π)$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x, y$ 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 仿射坐标系，若在 $θ$ 仿射坐标系下 $\vec{O M} = a \vec{e_{1}} + b \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(a, b)$ 叫做向量 $\vec{O M}$ 的仿射坐标，记为 $\vec{O M} = (a, b)$ .

(1)、若 $θ = 60 °, \vec{O M} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，求 $|\vec{O M}|$ 的模长；

(2)、若 $θ = 60 °, \vec{O A} = x_{1} \vec{e_{1}} + y_{1} \vec{e_{2}}, \vec{O B} = x_{2} \vec{e_{1}} + y_{2} \vec{e_{2}}$ ，有同学认为“ $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ”的充要条件是“ $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；

(3)、设 $\vec{O A} = (3, 1), \vec{O B} = (1, 1), ∠ A O B = α$ ，若 $|\vec{O A} - t \vec{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $\forall t \in R$ 恒成立，求 $cos α$ 的最大值.

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13、为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示：
学业
成绩
日均体育锻炼时长/小时
$[0 ， 0.5)$
$[0.5 ， 1)$
$[1 ， 1.5)$
$[1.5 ， 2)$
$[2 ， 2.5)$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27

(1)、该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？

(2)、估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）；

(3)、依据小概率值 $a = 0.05$ 的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d ， (χ_{0.05}^{2} = 3.841)$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 是 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ B、 $（ - \infty, - 1]$ C、 $[- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $（ - \infty, 1]$

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15、已知 ${(x^{2} - x + 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{18} x^{18}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 9$ B、 $a_{2} = 45$ C、 $\sum_{i = 1}^{18} a_{i} = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{9} a_{2 i - 1} = \frac{1 - 3^{9}}{2}$

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16、下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）

A、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 、 $(x_{3}, y_{3})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{n}, y_{n})$ 中的一个点 B、若线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x - 1$ ，则当变量 $x$ 增加 $1$ 个单位时， $\hat{y}$ 平均增加 $2$ 个单位 C、两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $r$ 的值越接近于 $1$ D、对具有线性相关关系的变量 $x$ 、 $y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 2.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 4$

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17、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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19、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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20、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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题号	1题	2题	3题	4题	5题	6题	7题	8题	9题	10题
甲	10	8	11	10	9	10	16	7	12	10
乙	14	9	7	13	8	6	12	7	14	9

学业成绩	日均体育锻炼时长/小时
学业成绩	$[0 ， 0.5)$	$[0.5 ， 1)$	$[1 ， 1.5)$	$[1.5 ， 2)$	$[2 ， 2.5)$
优秀	5	44	42	3	1
不优秀	134	147	137	40	27