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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $\frac{{(- i)}^{2025}}{2 z + 1} = 2 - i$ ，则 $z$ 的实部与虚部之和为（）

A、 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2、《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为 $\frac{1}{2}$ ，求解下列问题：

(1)、当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；

(2)、当村民数为 $2 n (n \in N^{*})$ 时，求全体村民赶来营救的概率；

(3)、假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为 $\frac{1}{4}$ .在正常情况下，每位村民的营救意愿为 $\frac{1}{2}$ ；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为 $\frac{1}{4}$ .记牧童第 $n$ 次呼救时，村民白跑的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ 的表达式.

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3、已知 $f (x) = | x - a | \cdot | x - 3 a | (a > \frac{2}{3})$

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 1$ ；

(2)、已知 $g (x) = f (x) + t$ 有四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求 $x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{4}$ ；

(3)、当 $x \in [1, 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值 $M$ ，最小值 $m$ .

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为AD的中点， $A E = A B = 2$ ，将 $△ A B E$ 沿BE翻折至 $△ A^{'} B E$ 的位置，点 $F$ 在 $A^{'} D$ 上，且 $\vec{A^{'} F} = \frac{2}{3} \vec{A^{'} D}$

(1)、求证： $A^{'} B / /$ 平面 $C E F$ ；

(2)、若平面 $A^{'} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求二面角 $F - C E - D$ 的余弦值.

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5、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $c = 3 b, 3 \sin B = \tan A \cos C + \sin C$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $B D = 3 D C$ ，求 $\sin ∠ B A D$ .

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \sin 2 x$

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间.

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7、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC的中点， $G$ 是AD的中点，过点 $G$ 作直线 $l$ 交线段AB、线段AC分别于点 $E 、 F$ ，记 $△ A E G$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形GDCF的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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8、某班级男女生比例 $2 : 3$ ，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差 $s^{2}$ 的值是.

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 150^{°}, b = \sin A, c = \sqrt{3}$ ，则 $\tan A$ 的值是.

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D, A D / / B C, A B ⊥ A D, A D = A P = 2$ ， $A B = B C = 1$ ，点 $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 为 $A C$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A C ⊥ E F$ B、点 $D$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、三棱锥 $P - A D C$ 与三棱锥 $P - A B C$ 的外接球半径之比为 $4 : 3$ D、 $P C$ 与面 $A B E$ 交于点 $Q$ 则 $P Q = \frac{2}{3} P C$

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11、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $A, B$ 满足： $P (A) > 0, P (B| A) + P (\bar{B}) = 1$ ，则 $A, B$ 相互独立 B、已知随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (x \geq 2) + P (x \geq 6) = 1$ ，则 $μ = 4$ . C、若 ${(\frac{1}{x} + 2 \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项 D、一组数据 $(1, 3), (2, 8), (3, 10), (4, 14), (5, 15)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，则当 $x = 2$ 时，残差为1

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $a + b = 3$ ，则 $\ln a + \ln b < 1$ C、 $\log_{a} b > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$ D、若 $4 a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $4 a + b^{2}$ 的最大值为2

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13、已知 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (1 - x), f (x + 2) = f (x) + 2$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则 $f (\frac{2023}{2})$ 的值为（）

A、 $e^{\frac{1}{2}} + 1011$ B、 $e^{\frac{1}{2}} + 1010$ C、 $e^{- \frac{1}{2}} + 1011$ D、 $e^{- \frac{1}{2}} + 1010$

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14、某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（）

A、560种 B、616种 C、672种 D、728种

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15、已知 $f (x) = \sin^{4} x + \cos^{4} x + \sin x \cos x$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、1 D、 $\frac{9}{8}$

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16、在 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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17、已知命题 $p : \forall x \in {x ∣ x$ 是无理数 $}, x^{3}$ 是无理数；命题 $q : \exists n \in Z$ ，使得 $n^{2} + n$ 是奇数，则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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18、设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $M = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $N = {3, 4, 5, 6}$ ，集合 $P = {4, 5, 7, 8}$ ，则 $(M \cap N) \cup ∁_{U} P$ 等于（）

A、 ${1, 2, 3, 4, 6}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ C、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}$

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19、人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则欧几里得距离 $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ；曼哈顿距离 $d (A, B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ；余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos (A, B)$ ，其中 $\cos (A, B) = \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）

(1)、若 $A (1, 2), B (3, 4)$ ，求A，B之间的余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}, M (5 \cos α, 5 \sin α), N (13 \cos β, 13 \sin β), P (5 \cos (α + β), 5 \sin (α + β))$ ，若 $\cos (M, P) = \frac{5}{13}, \cos (M, N) = \frac{63}{65}$ ，求M、P之间的曼哈顿距离；

(3)、若点 $M (3, 0), d (M, N) = 2$ ，求 $e (M, N)$ 的最大值．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D在线段AC上．

(1)、若D是AC中点，求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、若M为BC的中点，直线 $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} D M$ ，求 $\frac{A D}{D C}$ ．

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