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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形． $A B =$ $A_{1} A = A_{1} B = 4$ ，且 $cos ∠ A_{1} A C = \frac{1}{4}, O$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ A_{1} O$ ；

(2)、点 $P$ 是线段 $A_{1} O$ 上一点，求使得二面角 $P - B C - C_{1}$ 的正弦值不小于 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 的点 $P$ 形成的轨迹长度．

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2、已知 $△ A B C$ ，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\sin A} = \frac{2 \cos B}{2 \sin C + \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的中点，求 $A D$ 的长．

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3、在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

(1)、如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(2)、如果从中抽3道题，记 $X$ 表示抽到代数题的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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4、函数 $f (x) = \frac{ln (e^{2 x} + 1)}{x}$ 在区间 $[- e, - 1] \cup [1, e]$ 上的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0 \\ |{log}_{2} x| - 1, x > 0 \end{array}$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ B、方程 $f (x) = 2$ 有两个不等的实数解 C、不等式 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{4}, 2 \sqrt{2}) \cup (8, + \infty)$ D、关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) = 1 - a^{2}$ 的解的个数可能为 $2, 4, 5$

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6、设正实数x，y满足 $x + y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 有最大值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 有最小值为4 C、 $\frac{4 y}{x} + \frac{2}{y}$ 有最小值为5 D、 $\sqrt{x + 3} + \sqrt{y + 4}$ 有最大值为 $3 \sqrt{2}$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - k (x^{2} + 2)$ 有两个极值点 $a, b$ ，若 $a = 2 b$ ，则 $k =$ （）．

A、0 B、 $ln 2$ C、 $\frac{1}{ln 2}$ D、 $e$

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8、已知 $a \in R$ ， $(a x^{2} - x - a + 1) \ln x \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$

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9、圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知 $P$ 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点 $P$ 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点 $P$ ，则该质点运动的最短路径长为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{2}$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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10、已知 $f (x)$ 是奇函数，函数 $y = f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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11、设 $a = 7^{0}, b = {0.3}^{3}, c = {log}_{7} \frac{1}{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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12、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $α \cap β = l$ ， $m$ 是异于 $l$ 的一条直线，则“ $m / / l$ ”是“ $m / / β$ 且 $m / / α$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知集合 $A = {x ∣ \log_{2} x \leq 2, x \in N}$ ， $B = {x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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14、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则（）

A、 $- x_{0}$ 是 $f (- x)$ 的极小值点 B、 $- x_{0}$ 是 $- f (x)$ 的极大值点 C、 $- x_{0}$ 是 $- f (- x)$ 的极小值点 D、 $- x_{0}$ 是 $f (|x|)$ 的极大值点

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15、 $\forall x \in R, [x]$ 表示不超过x的最大整数．十八世纪， $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（）

A、 $\exists x \in R, x \geq [x] + 1$ B、 $\exists x \in R, [4 x] = 4 [x] + 2$ C、 $\forall x, y \in R, [x + y] \leq [x] + [y]$ D、函数 $y = x - [x] (x \in R)$ 的值域为 $[0, 1)$

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16、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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17、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则错误的是（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ B、 $\frac{a^{2}}{d^{2}} > \frac{b^{2}}{c^{2}}$ C、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$ D、 $\sqrt{- \frac{a}{d}} > \sqrt{- \frac{b}{c}}$

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18、若曲线 $f (x) = \frac{1}{2} cos 2 x$ 在 $x = x_{1}$ 与 $x = x_{2}$ 处的切线互相垂直，且交点 $P$ 在直线 $y = a$ 上，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{7 π}{4}$ D、 $2 π$

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19、设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {6, 7, 8}$ ，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${6, 8}$ B、 ${6, 7, 8}$ C、 ${1, 3, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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20、已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907   966   191   925   271   932   812   458   569   683
431   257   393   027   556   488   730   113   537   989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（       ）

A、0.35 B、0.25 C、0.20 D、0.15

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