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相关试卷

1、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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2、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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3、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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4、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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5、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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6、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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7、现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A, B, C$ 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $3^{4}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

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8、若点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 \ln x$ 上任意一点，则 $M$ 到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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9、下列说法中错误的是（）

A、样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B、线性回归直线 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、两个随机变量相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 D、两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

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10、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} （ x > 0 ）， g (x) = x （ x > 0 ）， φ (x) = (m + 1) x - 2 (m^{2} + 1) （ x > 0 ） .$

(1)、对于函数 $f_{1} (x) ， f_{2} (x) ， f_{3} (x)$ ，如果存在实数a，b使得 $f_{3} (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称 $f_{3} (x)$ 为 $f_{1} (x) ， f_{2} (x)$ 的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使 $φ (x)$ 成为函数 $f (x) ， g (x)$ 的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由.

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = g (x_{3}) ，$ 其中 $x_{1} < x_{2} ，$ 求 $f (x_{1} + x_{2}) + g (x_{3})$ 的取值范围.

(3)、若x，m均为正整数，求函数 $h (x) = g (x) \cdot φ (x)$ 的最小值 $p (m)$ （用m表示）及 $p (m)$ 的最大值.

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12、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, A_{1} A = A_{1} B = A_{1} C$ ，且D为BC的中点， $D_{1}$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、若 $A B = A C$ ，求证： $A_{1} D_{1} ⊥ A_{1} B C;$

(2)、若 $A B = A C = 2, A_{1} A = 4$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值

(3)、若 $B C = 2 \sqrt{2}, A_{1} A = 4$ ，求二面角 $A_{1} - B C - C_{1}$ 的正弦值的最大值.

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13、如图， $△ O A B$ 是等边三角形， $∠ A O C = 45^{\circ}, O C = \sqrt{2}$ ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点（不含端点）.

(1)、求 $\vec{O B} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O D} = x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R) ，$ 求 $\frac{(x + 1) (y + 1)}{x y}$ 的最小值.

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14、2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成 $[45,55), [55,65), \dots, [85,95]$ 五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中a的值；

(2)、由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(3)、展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在 $[45,55)$ 和 $[85,95]$ 内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在 $[45,55)$ 和 $[85,95]$ 的概率.

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15、已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (x + \frac{π}{12}) + sin 2 x .$

(1)、若直线 $x = m$ 是函数 $f (x)$ 图像的对称轴（其中 $m$ 是正实数），求 $m$ 的最小值；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 满足 $f (A) = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} ，$ 求 $f (B)$ 的取值范围.

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16、在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数 ${\bar{x}}_{k}$ 和方差 $s^{2}_{k}$ ，再计算前面k+1个数据的平均数 ${\bar{x}}_{k + 1}$ 和方 $s^{2}_{k + 1}$ ，计算 $s^{2}_{k + 1}$ 可利用递推式： $s^{2}_{k + 1} = f (k) \cdot s^{2}_{k} + g (k) \cdot {({\bar{x}}_{k + 1} - {\bar{x}}_{k})}^{2}$ ，则 $f (k) \cdot g (k) =$ .

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17、函数 $y = \tan (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $(\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B}) \cdot \overset{⃑}{A B} =$ .

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18、双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正切函数 $th (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，且当 $x > 0$ 时有 $th (x) < x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 ${[ch (x)]}^{2} - {[sh (x)]}^{2} = 1$ B、 $th (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、 $th (x) + th (x - 2) > 0$ ，则 $x < 1$ D、 $f (x) = (x - 1) [sh (x) + ch (x)]$ ，则 $f (\frac{1}{e}) > f (- \frac{1}{e})$

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19、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 2, A D = 1$ ，沿BD将 $△ A B D$ 折起成 $△ A^{'} B D$ 若点 $A^{'}$ 在平面 $B C D$ 上的射影落在 $△ B C D$ 内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（）

A、四面体 $A^{'} B C D$ 的外接球表面积为5π B、四面体 $A^{'} B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、四面体 $A^{'} B C D$ 的体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、四面体 $A^{'} B C D$ 的4个面中最多有3个直角三角形

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20、以下选项正确的是（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) = 0$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则事件 $A$ 与事件 $B$ 一定互斥 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则事件 $A$ 与事件 $B$ 一定互斥 D、“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等

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