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相关试卷

1、已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1：2：3，高为4，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{56 π}{3}$ C、 $40 π$ D、 $56 π$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - a) x + 2 a, x < 1, \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1. \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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3、某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（）

A、87.5 B、85 C、82.5 D、80

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{6} = 15 - a_{10}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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5、若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1+ \sqrt{3} i|$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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6、已知集合 $A = {1, 2, \sqrt{m}}, B = {1, m}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、0或2 C、1或2 D、0或1

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，若 $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = λ \vec{A N}$ ，则 $λ =$ .

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8、一个底面边长为 $2 cm$ 的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为 $1 cm$ 的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了 $\frac{π}{2} cm$ .若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{37} {πcm}^{2}$ B、 $6 {πcm}^{2}$ C、 $2 \sqrt{10} {πcm}^{2}$ D、 $2 \sqrt{37} {πcm}^{2}$

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9、“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动 $.$ 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

(1)、某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 $B$ 、 $C$ 两类，抽到较易的 $B$ 类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的 $C$ 类并答对购物打七折优惠 $.$ 抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 $8$ 张完全相同的卡片，其中 $3$ 张写有 $A$ 字母， $3$ 张写有 $B$ 字母， $2$ 张写有 $C$ 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 $1$ 张卡片，若抽到写有 $A$ 的卡片，则再抽 $1$ 次，直至取到写有 $B$ 或 $C$ 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 $C$ 的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率.

(2)、小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到 $n$ 条灯谜 $($ 不妨设每条灯谜的适合度各不相同 $)$ 最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 $k (1 \leq k < n)$ 条灯谜，自第 $k + 1$ 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条 $.$ 设 $k = t n$ ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 $P$ .
（i）若 $n = 4, k = 2$ ，求 $P$ ；
（ii）当 $n$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $P$ 的最大值及 $P$ 取最大值时 $t$ 的值.
（取 $\frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \dots + \frac{1}{n - 1} = ln \frac{n}{k}$ ）

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10、对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如 $\{2, 3, 5\}$ 的“交替和”是 $5 - 3 + 2 = 4, \{5\}$ 的“交替和”是5.

(1)、求集合 $\{1, 2, 3\}$ 的所有非空子集的交替和的总和；

(2)、已知集合 $T = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，求集合 $T$ 所有非空子集的元素和的总和；

(3)、已知集合 $M_{n} = {a_{k} |a_{k} = 5 - 2 k, k = 1, 2, \dots, n}$ ，其中 $n \in N^{*} ，$ 求集合 $M_{n}$ 所有非空子集的交替和的总和.

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11、某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段

， A ， B

两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对

15

至

45

岁的人群，按比例随机抽取了

300

份，进行了数据统计，具体情况如下表：

年龄 $＼$ 组别	$A$ 组统计结果		$B$ 组统计结果
年龄 $＼$ 组别	经常使用单车	偶尔使用单车	经常使用单车	偶尔使用单车
$[15 ， 25)$	$27$ 人	$13$ 人	$40$ 人	$20$ 人
$[25 ， 35)$	$23$ 人	$17$ 人	$35$ 人	$25$ 人
$[35 ， 45]$	$20$ 人	$20$ 人	$35$ 人	$25$ 人

(1)、先用分层抽样的方法从上述

300

人中按“年龄是否达到

35

岁”抽出一个容量为

60

人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到

35

岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.

$①$ 求这 $60$ 人中“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人数；

$②$ 为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有 $3$ 份礼品赠送给其中 $3$ 人，每人 $1$ 份 $($ 其余人员仅赠送骑行优惠券 $) .$ 已知参加座谈会的人员中有且只有 $4$ 人来自 $A$ 组，求 $A$ 组这 $4$ 人中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、根据已有数据，完成下列2×2列联表(单位：人)，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄（35岁）有关”？

	经常使用单车	偶尔使用单车	合计
未达到35岁
达到35岁
合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ，$ 其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (χ^{2} \geq χ_{α})$	0.050	0.010	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828

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12、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m > - 2$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对于任意 $x \in [- 2, 1]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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13、在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答.
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等.
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*}) ，$ 若________，求：

(1)、求 $n$ 和展开式中二项式系数最大的项；

(2)、从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.（有理项指所有字母的指数恰好都是整数的项）

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14、甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为. $($ 用数字作答 $)$ .

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15、已知随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $Y ~ N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (Y \geq 4) = \frac{1}{2}$ ， $E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ .

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16、某区四所高中各自组建了排球队 $($ 分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队” $)$ 进行单循环比赛 $($ 即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛 $) ，$ 最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得 $3$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场得 $0$ 分 $.$ 若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\frac{1}{3} ，$ 且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（）

A、甲队积分为 $9$ 分的概率为 $\frac{1}{27}$ B、不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C、甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 $\frac{1}{27}$ D、甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 $\frac{8}{243}$

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17、下列说法正确的有（）

A、 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为 $2$ B、已知 $a > 0, b > 0, a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围是 $[9, + \infty)$ C、已知 $a > 0, b > 0, a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{4 b^{2} + 1}{2 b}$ 的最小值为4 D、已知 $a > b > 0, \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = 4$ ，则 $5 a - 4 b$ 最小值为2

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18、已知由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 8)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ 且 $\bar{x} = 2$ ，去除其中两个点 $A (- 2, 7)$ 和 $B (2, - 7)$ 后，得到新的回归直线的 $\hat{b} = 3 .$ 则下列说法正确的是（附：样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差 $\hat{e_{i}} = y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ ）（）

A、相关变量 $x, y$ 具有正相关关系 B、去除点 $A, B$ 后的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x - 3.2$ C、去除点 $A, B$ 后，随 $x$ 值增加相关变量 $y$ 值增加速度变小 D、去除点 $A, B$ 后，样本点 $(4, 8.9)$ 的残差为 $0.1$

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19、将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3且一端固定的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（）种不同的放置与上色方式

A、11232 B、10483 C、10368 D、5616

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20、互不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \{2, 4, 5, 9\}, x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, x_{i_{4}}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列，设随机变量 $X, Y$ 满足： $\{\begin{matrix} X = \max \{m i n \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m i n \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \\ Y = \min \{m a x \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m a x \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \end{matrix}$ ，则（）

A、 $E (X) < E (Y), D (X) > D (Y)$ B、 $E (X) < E (Y), D (X) = D (Y)$ C、 $E (X) > E (Y), D (X) > D (Y)$ D、 $E (X) > E (Y), D (X) = D (Y)$

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