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相关试卷

1、已知直线 $l : y = k x + b$ 和曲线 $C : y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，给出下列四个结论：
①存在实数 $k$ 和 $b$ ，使直线 $l$ 和曲线 $C$ 没有交点；
②存在实数 $k$ ，对任意实数 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 恰有 $1$ 个交点；
③存在实数 $b$ ，对任意实数 $k$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $2$ 个交点；
④对任意实数 $k$ 和 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $3$ 个交点．
其中所有正确结论的序号是．

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2、在等腰梯形 $A B C D$ 中，设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{D C} = 2 \overset{⃑}{A B}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则 $\overset{⃑}{A M}$ =（用 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ 表示），当 $x =$ 时， $| \overset{⃑}{b} - x \overset{⃑}{a} |$ 最小.

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3、若双曲线经过点 $(1, \sqrt{3})$ ，其渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的方程是.

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4、设 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} =$ ；当 $a_{8} = - a_{9}$ 时， $n =$ ．

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5、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\lg (x + 1)}$ 的定义域为．

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6、在直角坐标系 $x O y$ 中，全集 $U = \{(x, y) |x, y \in R\}$ ，集合 $A = \{(x, y) |x \cos θ + (y - 4) \sin θ = 1, 0 \leq θ \leq 2 π\}$ ，已知集合A的补集 $∁_{U} A$ 所对应区域的对称中心为M，点P是线段 $x + y = 8$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 $△ M P Q$ 周长的最小值为（）

A、24 B、 $4 \sqrt{10}$ C、14 D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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7、在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位： ${W/m}^{2}$ ）的相对大小，具体关系式为 $y = 10 \lg (\frac{I}{I_{0}})$ ，其中基准值 $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ .若声强度为 $I_{1}$ 时的声强级为60dB，那么当声强度变为 $4 I_{1}$ 时的声强级约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）

A、63dB B、66dB C、72dB D、76dB

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8、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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9、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得 $| A P | + | P F |$ 的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(4, 4)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(3, 4)$

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10、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{n} = n^{2} - n$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = |1 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \sqrt{2} i$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、设 $A = \{x |x > 1\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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13、已知函数 $f (x) = a ln (x + 1) + x - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{2}, 7)$ 上有 $2$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.

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14、设集合 $U = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 为实数集，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ，对U的非空子集A，若满足：①若 $a_{i} \in A$ ，则 $a_{n + 1 - i} \in A$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.

(1)、若 $U_{1} = \{1, 2, 3\}$ ， $U_{2} = \{1, 2, 3, 4\}$ ，直接写出 $U_{1}$ ， $U_{2}$ 的所有“平衡子集”；

(2)、若 $U = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\} (n \in N^{*})$ ，
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用 $f (m)$ 表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数， $1 \leq m \leq 2 n$ ， $m \in N^{*}$ ，用 $g (n)$ 表示U的元素个数为n的子集个数，求 ${[f (1)]}^{2} + {[f (2)]}^{2} + \dots + {[f (2 n)]}^{2} - g (n)$ 的值，并说明理由.

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15、设函数 $f (x) = x - \ln (1 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) < \frac{2 x^{2} + x}{2 (1 + x)}$ ；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时，有 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + 1} < \ln (2 n + 1) - \ln 2$ .

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16、数列 $\{x_{n}\}$ 的首项 $x_{1} = \frac{e}{1 - e}$ ，且 $x_{n} < - 1$ ， $x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2}}{2 x_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}\}$ 为等比数列；

(2)、设 $a_{n} = (17 - 2 n) \ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x + m^{2}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m > 0$ 时， $f (x) \geq 2 m^{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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18、设 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{\frac{1}{2^{m} + 2^{n} + 2^{t}} | 0 \leq m < n < t ，且m ， n ， t \in Z\}$ 中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知 $b_{k} = \frac{1}{2120}$ ，则 $k =$ .

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19、甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{3} =$ .

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20、现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为种.

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