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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x$ ，若存在 $g (x) \leq f (x)$ 恒成立，则称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的一个“下界函数”．

(1)、如果函数 $g (x) = \frac{t}{x} - ln x$ 为 $f (x)$ 的一个“下界函数”，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - \frac{1}{e^{x}} + \frac{2}{e x}$ ，试问函数 $F (x)$ 是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

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2、已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为 $\frac{5}{4}$ ，左、右顶点分别为 $A (- 4, 0)$ ， $B (4, 0)$ .

(1)、求 $G$ 的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线 $A M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ．
（i）证明：点 $P$ 在定直线上：
（ii）若直线 $A N$ 与 $B M$ 交于点 $Q$ ，求证： $P F_{2} ⊥ Q F_{2}$ ．

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3、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = P A = 4$ ， $B C = C D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $P D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $A D ⊥ B P;$

(2)、求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

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4、11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.

(1)、求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)、求第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

(3)、现用 $p_{0}$ 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d$ 为整数， $S_{3} = 21$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{5}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知 $\sin (θ - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 θ =$ .

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7、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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8、抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的下方），则下列结论正确的是（）

A、若 $|A B| = 8$ ，则 $A B$ 中点到 $y$ 轴的距离为4 B、弦 $A B$ 的中点的轨迹为抛物线 C、若 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则直线 $A B$ 的斜率 $k = \sqrt{3}$ D、 $4 |A F| + |B F|$ 的最小值等于9

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9、如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 B、棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC C、当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BC D、∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角

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10、“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为 $15cm$ 和 $12cm$ ，高为 $10cm$ （厚度不计），则该升的1平升约为（）（精确到 $0.1 L, 1 L = 1000 {cm}^{3}$ ）

A、 $1.0 L$ B、 $1.8 L$ C、 $2.4 L$ D、 $3.6 L$

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11、已知圆 $C :$ $x^{2} + y^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，当圆心C到直线 $l :$ $y = k x + 3$ 的距离最大时，实数 $k$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－3 D、3

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12、函数 $f (x) = \frac{1}{|x|} - e^{|x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为 $81, 84, 82, 86, 87, 92, 90, 85$ ，则该学生这8次成绩的 $75 %$ 分位数为（）

A、85 B、85.5 C、87 D、88.5

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14、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{x ∣ 3^{x} - 1 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 2)$

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15、设集合 $A = \{α |α = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}\}$ .若集合 $A$ 中元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ 与 $β = (y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{n})$ 满足 $|x_{1} - y_{1}| + |x_{2} - y_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |x_{n} - y_{n}| = 1$ ，则称 $β$ 为 $α$ 在集合 $A$ 中的“友好元”.对于整数 $k$ ，若 $A$ 存在一个子集 $B$ 满足：
（i）集合 $B$ 中元素个数为 $k$ ；
（ii） $\forall α \in B$ ，在集合 $B$ 中都至少有 $n - 1$ 个“友好元”，则称 $k$ 是“好数”.

(1)、当 $n = 4$ 且 $α = (1, 0, 1, 0)$ 时，直接写出 $α$ 在集合 $A$ 中的“友好元” $β$ ；

(2)、当 $n = 10$ 时，求证： $2^{10} - 2^{8}$ 是“好数”；

(3)、当 $n = 2024$ 时，若整数 $d_{1}, d_{2}, \cdot \cdot \cdot, d_{t}$ 满足 $0 \leq d_{1} < d_{2} < \cdot \cdot \cdot < d_{t} \leq 2021$ ，且对 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, t - 1$ 均有 $d_{i + 1} - d_{i} \geq 3$ ，求证： $2^{2024} - (2^{d_{1}} + 2^{d_{2}} + \cdot \cdot \cdot + 2^{d_{t}})$ 是“好数”.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{1} a_{2} = a_{3}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + a_{1}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} = (2 n - 7) \cdot 2^{n + 1} + 14$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和；

(3)、记 $c_{n} = \frac{S_{n} + 4}{a_{n} + 4}$ ，若 $c_{n} \leq c_{k}$ 恒成立，求 $k$ 的值.

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17、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点是 $(\sqrt{5}, 0)$ ，渐近线方程是 $y = \pm \frac{1}{2} x$

(1)、求双曲线的方程；

(2)、点 $M$ 为 $y$ 轴上一点，点 $A$ 是双曲线的右顶点，点 $P$ 是双曲线上异于顶点的一点，若 $△ M A P$ 是正三角形，求点 $M$ 的坐标.

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18、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ，且 $C A = C B = C A_{1}$ .

(1)、证明： $C B ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的的部分图象如图，且经过点 $S (\frac{π}{3}, 1)$ ， $T (\frac{4 π}{3}, - 1)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (A) = f (B)$ ， $a = 2$ ， $b = 3$ ，求 $f (A)$ 的值.

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20、已知球 $O$ 的半径等于4， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 是球 $O$ 的某内接圆柱的上下底面圆心， $O_{1} O_{2} = 2$ ， $P Q$ 是球 $O$ 的直径（点 $O_{1}$ 在 $P O$ 上，点 $O_{2}$ 在 $O Q$ 上）， $M$ 为 $O P$ 的中点，若四边形 $A B C D$ 是圆 $O_{1}$ 的内接矩形， $A E$ ， $B F$ 是圆柱的母线，且平面 $M C D ⊥$ 平面 $M E F$ ，则 $A B =$ .

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