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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - {sin}^{2} A = sin B sin C$ .

(1)、若 $b = 1, c = 2, D$ 为线段 $B C$ 中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ；②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.若 $a = 3, P$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $P$ 作 $A B, B C, A C$ 垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{c}{|P D|} + \frac{9 a}{|P E|} + \frac{b}{|P F|}$ 的最小值.

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2、如图（1），正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点， $A E, A F$ 与对角线 $B D$ 的交点分别为 $M, N$ ，对角线 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$ ，沿图中虚线折起，使 $B, C, D$ 三点重合于点 $P$ ，得到图（2）所示的多面体.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、求证：平面 $A P G ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(3)、求四棱锥 $P - E F N M$ 的体积.

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3、高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；

(2)、已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；

(3)、为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.

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4、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A C ⊥ A D, A D = 2 \sqrt{3}, A B = 2 B D$ ，且 $△ A C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $sin ∠ A B D$ 的值为.

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5、已知 $sin x + cos x = \frac{7}{5}$ ，则 $sin 2 x$ 的值为.

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6、如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面 $C_{1} B_{1} B C$ 内（不含边界）一点 $P$ 与棱 $D D_{1}$ 把木料锯成两块，为此需要先在面 $C_{1} B_{1} B C$ 内作出交线 $l$ ，下列关于交线 $l$ 与截面形状的说法正确的是（）

A、截面形状是梯形 B、截面形状可能为等腰梯形 C、直线 $l$ 与直线 $D D_{1}$ 相交 D、直线 $l$ 与直线 $A A_{1}$ 相交

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7、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $C = 60 °$ ， $b = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 C、若 $B = 75 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{27 - 9 \sqrt{3}}{4}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $a \in (\frac{3}{2}, 6)$

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8、如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）

A、环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B、环比涨跌幅的平均数为 $0.1 \frac{0}{0}$ C、环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D、同比涨跌幅的75百分位数为 $1.55 \frac{0}{0}$

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9、如图，圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，半径为 $R$ 的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且 $4 r_{1} + r_{2} = R^{2}$ ，则圆台的侧面积最小值为（）

A、 $100 π$ B、 $96 π$ C、 $88 π$ D、 $81 π$

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10、如图，为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ .现测得 $∠ B C D = α, ∠ C D B = β, C D = m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，则塔高 $A B$ 为（）

A、 $\frac{m sin β}{tan θ sin (α + β)}$ B、 $\frac{m sin θ sin α}{sin (α + β)}$ C、 $\frac{m cos θ sin α}{sin (α + β)}$ D、 $\frac{m tan θ sin β}{sin (α + β)}$

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11、已知事件 $A, B$ 相互独立，若 $P (A) = 0.4, P (A B) = 0.24$ ，则 $P (\bar{B})$ 的值为（）

A、0.36 B、0.4 C、0.6 D、0.76

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12、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的中位数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{10} + 3$ 的中位数和方差分别为（）

A、2，3 B、7，6 C、7，12 D、4，12

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13、在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（）

A、 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (3, - 2)$ B、 $\vec{a} = (2, - 2), \vec{b} = (1, - 1)$ C、 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ D、 $\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (- 3, 9)$

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14、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1$ ，则 $|z|$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{4}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $B C, A C, A B$ 边的长分别为 $a, b, c$ .

(1)、利用向量知识证明： $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a = 6, b - c = 1, \sin C = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .求 $b$ 的值及 $△ A B C$ 的面积.

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16、点 $P$ 在函数 $y = e^{x}$ 的图像上，点 $Q$ 在函数 $y = ln x$ 的图像上，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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17、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = 2 f (x - 1)$ ，且当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - \frac{1}{2} x (x + 1)$ ．若对任意 $x \in (- \infty, m]$ ，都有 $f (x) \leq \frac{21}{25}$ ，则 $m$ 的最大值是．

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18、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中，下列说法正确的是( )

A、常数项是 $1120$ B、第四项和第六项的系数相等 C、各项的二项式系数之和为 $256$ D、各项的系数之和为 $256$

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19、已知函数 $y = f (x)$ 定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为其导函数，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ 恒成立，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ ，则不等式 $f (x) < x^{2}$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为边作正三角形 $M F_{1} F_{2}$ ，若边 $M F_{1}$ 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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