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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，总存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $S_{n} = a_{m}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”.以下结论中正确的是（）

A、若 $a_{n} = n$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” B、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列” C、设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，当 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ 时，若 $\{a_{n}\}$ 为“回归数列”，则 $d = - 1$ D、对任意的等差数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个“回归数列” $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$

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2、已知不等式 $ln x \leq x - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立（当且仅当 $x = 1$ 时等号成立），下列不等式正确的是（）

A、 $ln x \geq 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ B、 $\frac{3}{7} < ln 7 - ln 4 < \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2025} > ln 2025$ D、 $\frac{1}{7^{7}} + \frac{1}{7^{5}} + \frac{3}{7^{4}} + \frac{5}{7^{3}} + \frac{5}{7^{2}} + \frac{3}{7} + 2 < e$

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3、下列说法正确的有（）

A、已知随机事件 $A, B$ 的概率不为0，若 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 一定不互斥 B、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 0.2 x + 0.8$ ，则样本点 $(2, - 1)$ 的残差为1.4 C、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数为2，方差为12，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 16$ D、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, \frac{1}{9})$ ，则 $E (2 X + 1) = 9, D (2 X + 1) = \frac{4}{9}$

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4、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}, ∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，则 $| P A | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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5、已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以 $A$ 为顶点的等腰三角形，若 $A, B, C$ 分别是该三角形的三个内角，则 $tan \frac{B}{3} + tan \frac{2 B}{3} + tan B + tan \frac{B}{3} tan \frac{2 B}{3} tan B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、0 D、1

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6、若函数 $f (x)$ 有唯一零点，且 $f (x + 1) = x^{2} - 1 + a (e^{x} + e^{- x})$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7、某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为 $1 : 2 : 2$ ，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有 $\frac{2}{3}$ 的人投票给1号菜品，教工代表中有 $\frac{1}{4}$ 的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（）

A、 $\frac{8}{21}$ B、 $\frac{13}{21}$ C、 $\frac{4}{21}$ D、 $\frac{3}{7}$

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8、已知直线 $m, n, l$ ，平面 $α, β$ ，若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α \cap β = l$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ，则直线 $m$ 必垂直于平面 $β$ 内的无数条直线

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9、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{2} |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、若 $\frac{z + 2}{z} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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11、若集合 $A = \{x ∣ \sqrt{x} \leq 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} (x - 1) \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 $[0, 5]$

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12、海岸上建有相距 $40 \sqrt{3}$ 海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 $α = ∠ B C A = 45 ° ， β = ∠ A C D = 30 ° ， γ = ∠ B D C = 45 ° ， δ = ∠ A D B = 75 °$ .

(1)、救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？

(2)、求 $A ， B$ 之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？

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13、如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点， $2 \vec{A E} = \vec{E D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c} .$

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E};$

(2)、若 $A B = 2$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{A C}$ 的值.

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 5$ ， $a_{4} = 1$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{5}$ ， $b_{2} = 9.$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} .$

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15、已知三角形三顶点 $A (3, 1)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (- 1, 0)$ ，求：

(1)、直线AB的一般式方程；

(2)、 $A B$ 边上的高所在直线的一般式方程.

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16、人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过 $x^{'} = \frac{x}{a}$ ， $y^{'} = \frac{y}{b}$ 变换后可变为平面内的单位圆 ${(x^{'})}^{2} + {(y^{'})}^{2} = 1.$ 此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积 $S^{'}$ 的关系为 $S = a b S^{'}$ .已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线 $y = k x (k > 0)$ 与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为.

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 3 y + 1 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 y + 2 = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为.

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18、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $x = - 1$ ，过 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点 $($ 其中 $A$ 在 $x$ 轴上方 $)$ ，且 $|A F| = 4$ ，若将三角形 $A O F$ 沿 $O F$ 折起来，使其与三角形 $B O F$ 垂直，则（）

A、 $p = 2$ B、直线 $A B$ 的方程为 $y = x - 1$ C、翻折后，异面直线 $O A, B F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、翻折后，三棱锥 $A - B O F$ 的体积为 $\frac{2}{3}$

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19、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2}$ ， $a_{1} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 B、数列 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、数列 ${\frac{1}{a_{n}} + 1}$ 是等比数列 D、 $a_{10} = \frac{1}{1025}$

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20、已知直线 $l : 4 x + 3 y + 6 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$ 相交于 $E, F$ 两点，则（）

A、圆心 $C$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ B、圆 $C$ 的半径为 $3$ C、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $2$ D、 $|E F| = \sqrt{5}$

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