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相关试卷

1、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体 $A B C D$ 表面上任意两点间距离的最大值大于3 B、勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、勒洛四面体 $A B C D$ 四个曲面交线长的和为 $6 π$ D、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $3 - \frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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2、对一列整数进行如下操作：输入第一个整数 $x_{1}$ ，只显示不计算，接着输入第二个整数 $x_{2}$ ，只显示 $| x_{1} - x_{2} |$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为 $p$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ ，现把数列 $\{a_{n}\}$ 的前2025项随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2025 D、 $p$ 的最大值为2024

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3、已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + (2 - a) x + 2 b$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则 $b$ 的取值范围是（0，1） B、当 $a = 2$ 且 $x \in (0, 1)$ 时， $f (\cos x) < f (\cos^{2} x)$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (1 - x) = 2 b - \frac{a}{2}$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $2 x_{0} + x_{1} = \frac{3}{2}$

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4、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $\cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{441}{16}$ B、 $\frac{441 \sqrt{3}}{16}$ C、 $\frac{441}{8}$ D、 $\frac{441 \sqrt{3}}{8}$

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5、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， P为 $△ A B C$ 所在平面内的一个动点，若 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、4 B、 $3 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、6

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6、抛物线 $x = - 3 y^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{12}$ B、 $x = \frac{1}{12}$ C、 $x = \frac{3}{4}$ D、 $y = \frac{3}{4}$

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7、已知集合 $U = \{x |0 \leq x \leq 5, x \in N\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{1, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{3, 5\}$

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8、已知点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |x + 1|, Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} \ln (x + 1) + a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > - \frac{1}{3}$ ， $f (x) \geq f (0)$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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10、若直线的一个方向向量为 $(3, \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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11、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > \sqrt{6})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若椭圆上的点P满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为．

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13、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $30^{\circ}$ C、二面角 $A_{1} - A C_{1} - D_{1}$ 的平面角为 $30^{\circ}$ D、点 $D_{1}$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、已知椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ､ Q$ 两点，且 $P Q ⊥ F_{1} Q$ ， $S_{△ Q F_{1} F_{2}} = 2 S_{△ P F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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15、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和两点 $A (a, 0), B (- a, 0) (a > 0)$ ，若圆 $C$ 上有且仅有一点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ 或 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点，点Р在椭圆上，若 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ ，则 $|P F_{1}| =$ （）

A、6 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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17、已知点 $A (2, 5)$ ， $B (4, 11)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、2

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18、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $[m, n] \subseteq D$ ，若 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[k m, k n]$ ，则称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ -跟随区间”，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = |x - 1|$ 的一个“ $1 -$ 跟随区间”是 $[0, 1]$ B、函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ 一定存在“ $1 -$ 跟随区间” C、函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 存在“3-跟随区间” D、若函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 存在“ $2 -$ 跟随区间”，则 $n - m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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19、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线 $l^{'}$ 过 $F$ ，与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、 $E$ 是直线 $y = - 1$ 上一动点，过点 $E$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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20、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 0)$ ， $B (4, 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 3 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(3, - 1)$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点， $|M N| = 4$ ，求 $l$ 的一般式方程．

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